Для нахождения синуса двугранного угла при основании правильной четырехугольной пирамиды, находим необходимые для этого значения.

Обозначим:

( h ) — высота пирамиды.( a ) — длина ребра основания пирамиды (так как основание — квадрат, то это сторона квадрата).( r ) — радиус описанной окружности около основания, равен 3.( s ) — апофема пирамиды, равна 8.

Радиус описанной окружности около квадрата равен:
[
r = \frac{a}{\sqrt{2}}
]
Подставим ( r = 3 ):
[
3 = \frac{a}{\sqrt{2}} \implies a = 3\sqrt{2}
]

Теперь найдем высоту ( h ) пирамиды. Для этого воспользуемся апофемой. В правильной пирамиде высота, радиус описанной окружности основания и апофема образуют прямоугольный треугольник, где:

один катет — высота ( h ),второй катет — радиус описанной окружности ( r = 3 ),гипотенуза — апофема ( s = 8 ).

По теореме Пифагора имеем:
[
s^2 = h^2 + r^2
]
Подставим известные значения:
[
8^2 = h^2 + 3^2
]
[
64 = h^2 + 9 \implies h^2 = 64 - 9 = 55 \implies h = \sqrt{55}
]

Далее находим синус двугранного угла при основании, который обозначим как ( \alpha ). Синус угла ( \alpha ) может быть найден как отношение противолежащего катета к гипотенузе:
[
\sin \alpha = \frac{r}{s} = \frac{3}{8}
]

Таким образом, синус двугранного угла при основании правильной четырёхугольной пирамиды равен:
[
\sin \alpha = \frac{3}{8}
]