Для решения задачи о прямом параллелепипеде с основанием в виде параллелограмма, мы воспользуемся свойствами геометрических фигур и формулами.

Дано:Стороны параллелограмма: ( a = 4\sqrt{2} ) дм, ( b = 8 ) дмОстрый угол ( \alpha = 45° )Высота параллелепипеда равна меньшей высоте параллелограмма.a) Найдем меньшую высоту параллелограмма

Высота параллелограмма с основанием ( b ) и углом (\alpha) рассчитывается по формуле:
[
h = b \cdot \sin(\alpha)
]

Подставляем известные значения:
[
h_1 = 8 \cdot \sin(45°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \, \text{дм}
]

Теперь найдем высоту, связанную с другой стороной ( a ):
[
h_2 = a \cdot \sin(45°) = 4\sqrt{2} \cdot \sin(45°) = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \, \text{дм}
]

Таким образом, меньшей высотой параллелограмма будет:
[
h_{\text{min}} = \min(h_1, h_2) = \min(4\sqrt{2}, 4) = 4 \, \text{дм}
]

Ответ:

Меньшая высота параллелограмма равна ( 4 ) дм.

б) Угол между плоскостью ABC и плоскостью основания

Угол между двумя плоскостями, содержащими векторы, можно найти с помощью скалярного произведения векторов нормалей.

Нормаль к плоскости основания (параллелограмму) направлена вверх и может быть представлена как:
[
\mathbf{n_1} = (0, 0, 1)
]

Нормаль к плоскости ( ABC ), которую можно найти, зная векторы ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{AC} ):

( \overrightarrow{AB} = (4\sqrt{2}, 0, 0) )( \overrightarrow{AC} = (0, 8, 0) )

Нормаль к плоскости ( ABC ):
[
\mathbf{n_2} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (4\sqrt{2}, 0, 0) \times (0, 8, 0) = (0, 0, 32\sqrt{2})
]

Теперь используются данные нормали для нахождения угла ( \theta ):
[
\cos(\theta) = \frac{\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2}}{|\mathbf{n_1}||\mathbf{n_2}|}
]

Подсчитываем скалярное произведение и модули:
[
\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2} = 0
]
[
|\mathbf{n_1}| = 1, \quad |\mathbf{n_2}| = 32\sqrt{2}
]
[
\cos(\theta) = \frac{0}{1 \cdot 32\sqrt{2}} = 0 \Rightarrow \theta = 90°
]

Ответ:

Угол между плоскостью ABC и плоскостью основания равен ( 90° ).

в) Площадь боковой поверхности параллелепипеда

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда определяется как:
[
S{\text{бок}} = P{\text{основания}} \cdot h
]
где ( P_{\text{основания}} ) - площадь основания (параллелограмма), а ( h ) - высота.

Сначала найдем площадь основания ( P ):
[
P = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) = 4\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \sin(45°) = 4\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 32 \, \text{дм}^2
]

Теперь подставим:
[
S{\text{бок}} = P{\text{основания}} \cdot h_{\text{min}} = 32 \cdot 4 = 128 \, \text{дм}^2
]

Ответ:

Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна ( 128 \, \text{дм}^2 ).

г) Площадь полной поверхности параллелепипеда

Площадь полной поверхности ( S ) определяется как:
[
S = 2 \cdot P{\text{основания}} + S{\text{бок}}
]
Подставляем значения:
[
S = 2 \cdot 32 + 128 = 64 + 128 = 192 \, \text{дм}^2
]

Ответ:

Площадь полной поверхности параллелепипеда равна ( 192 \, \text{дм}^2 ).

Таким образом, мы нашли все запрашиваемые значения:

Меньшая высота параллелограмма: ( 4 ) дмУгол между плоскостью ABC и плоскостью основания: ( 90° )Площадь боковой поверхности: ( 128 \, \text{дм}^2 )Площадь полной поверхности: ( 192 \, \text{дм}^2 )