В теории вероятностей и теории меры, алгебра множеств — это коллекция подмножеств, которая закрыта относительно различных операций, таких как объединение, пересечение и дополнение. Сигма-алгебра, в свою очередь, — это особый вид алгебры, который также закрыт относительно счётных объединений.

Примером алгебры, которая не является сигма-алгеброй, может служить следующая конструкция:

Рассмотрим пространство (X = {1, 2, 3, 4, 5}) и определим алгебру ( \mathcal{A} ) следующим образом:

[
\mathcal{A} = {\emptyset, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1, 2, 3, 4, 5}}
]

В этой алгебре мы имеем все одиночные элементы множества (X) и само множество (X), а также пустое множество. Эта коллекция удовлетворяет свойствам алгебры множеств:

Она содержит пустое множество.Если (A \in \mathcal{A}), то (X \setminus A \in \mathcal{A}).Если (A, B \in \mathcal{A}), то (A \cup B \in \mathcal{A}).

Однако, данная алгебра не является сигма-алгеброй, так как она не замкнута относительно счётных объединений. Например, если мы возьмём множество элементов (An = {n}) для всех натуральных (n), то объединение всех таких множеств ( \bigcup{n=1}^{\infty} A_n = {1, 2, 3, \ldots} ) будет равен бесконечному множеству, которое не содержится в ( \mathcal{A} ).

Таким образом, эта алгебра является примером алгебры, которая не является сигма-алгеброй.