Для решения задачи необходимо воспользоваться свойствами треугольников и теорией биссектрисы.

Определим углы треугольника NFM: Поскольку в треугольнике NFM угол ∠F равен 90°, а угол ∠NMF равен 60°, то угол ∠NFY (угол в вершине N) можно найти следующим образом:
[
\angle NFY = 180° - \angle F - \angle NMF = 180° - 90° - 60° = 30°.
]
Таким образом:

∠N = 30°∠M = 60°∠F = 90°

Определим стороны треугольника: В прямоугольном треугольнике NFM, где ∠F = 90°, можно использовать соотношения по катетам. Поскольку угол ∠NMF = 60°, будем применять соотношения для прямоугольного треугольника.

Сторона, противоположная углу 30°, (NF) в ( 2 ) раза меньше гипотенузы (NM), а сторона, противоположная углу 60° (MF), в ( \sqrt{3} ) раз больше, чем NF.

Используем биссектрису MO: Поскольку MO - это биссектрисса ∠NMF, согласно теореме о биссектрисе, мы можем использовать следующую связь для сторон:

[
\frac{NF}{FM} = \frac{NO}{MO}
]

При этом мы знаем, что FO = 10 см, а отрезок FM (так как это обрезаемая сторона, относится к 60°) можно выразить через NF:

[
FM = NF \cdot \sqrt{3}.
]

С учетом этого подставим в уравнение:

Подстановка в уравнение биссектрисы: Важный момент: также мы знаем, что FO (отрезок биссектрисы от вершины до стороны) равен 10 см. Это значение можно также выразить через катеты.

[
FO = \frac{NF \cdot (NM + NF)}{NM} \quad (для полноценного треугольника, где NM - гипотенуза).
]

Работа с равенствами: Из соотношений и самого свойства треугольника нужно найти и решить уравнение относительно NF:
Поскольку NM = NF \cdot 2 \ в выражении (за счёт углов), подставим это в соотношение ко всему приближенному результату катета, после чего за мгновение, выдадим известные ответы по каждому расчету.

[
10 = \frac{NF \cdot (\sqrt{3}NF + NF)}{\sqrt{3}NF}
]

Запись итогового равенства: После преобразований и вычисления NF получается удобно:

[
NF = 10/(1 + \sqrt{3}).
]

Теперь провести рассчёт и окончательный вывод:

Отсюда получится хорошая значимая оценка, что интерпретировать или же подставить всё время в расчёт.

Итак, катет ( NF ) равен (\frac{10 \cdot \sqrt{3}}{3} \approx 5,77 ) см.

Чертеж:

На чертеже будет изображен треугольник NFM с углом F в 90°, а угол N на 30° и угол M на 60°. Биссектрисса MO делит угол NMF пополам. Линии NF и MF обозначены соответствующими значениями.

Таким образом, мы нашли катет NF и представили проблему во всех необходимых аспектах.