В математической логике важно правильно трактовать кванторы при различных значениях переменных. Давайте сначала рассмотрим меньшие значения, а затем перейдем к случаям 0 и ∞.

Квантор всеобщности ∀:

Если у нас есть ноль переменных (пустая область), выражение ∀x R(x) не имеет переменных, и его нужно интерпретировать как истинное, поскольку не существует противоречащих примеров. Таким образом, выражение ∀x R(x) истинно, когда область определения пуста (это соответствует аксиоме vacuous truth).Если мы говорим о бесконечном числе переменных, то ∀x R(x) (где x пробегает все эти переменные) выражает, что свойство R выполняется для всех возможных значений, которые бесконечно делятся, и уже в этом случае важно знать конкретное выражение R и какую интерпретацию области определения мы используем.

Квантор существования ∃:

Если у нас ноль переменных, то выражение ∃x P(x) эквивалентно «существует хотя бы один элемент, для которого верно P(x)». Здесь область без элементов приводит к ложности, поскольку не существует даже одного элемента, кто мог бы удовлетворить P. Следовательно, ∃x P(x) ложно, если область определения пуста.Для бесконечно большого числа переменных, если существование хотя бы одного элемента удовлетворяет P(x), то ∃x P(x) может быть истинным. Однако эта оценка зависит от конкретных условий.

Таким образом, можно резюмировать про ноль и бесконечное количество переменных:

При 0 переменных:

∀x R(x) истинно, если область пустая.∃x P(x) ложно, если область пустая.

При ∞ переменных:

∀x R(x) будет истинно или ложно в зависимости от R и области определения.∃x P(x) также будет истинно или ложно в зависимости от P и области, но потенциально может быть истинно при наличии неограниченной интерпретации, удовлетворяющей P.

Таким образом, расшифровка истинностных значений формул с учетом различных областей и условий — важный аспект в математической логике.