Для нахождения наименьшего количества натуральных чисел, сумма кубов которых равна 2025, можно воспользоваться теорией представления чисел в виде суммы кубов.

Сначала определим, какие кубы натуральных чисел мы можем использовать. Кубы первых нескольких натуральных чисел:

[
1^3 = 1,\ 2^3 = 8,\ 3^3 = 27,\ 4^3 = 64,\ 5^3 = 125,\ 6^3 = 216,\ 7^3 = 343,\ 8^3 = 512,\ 9^3 = 729,\ 10^3 = 1000,\ 11^3 = 1331,\ 12^3 = 1728,\ 13^3 = 2197
]

Поскольку 13^3 = 2197 больше 2025, начнем с 12^3 = 1728. Остаток:

[
2025 - 1728 = 297
]

Теперь будем представлять 297 как сумму кубов. Сначала найдем, какой максимальный куб меньше или равен 297:

[
6^3 = 216
]
Остаток:

[
297 - 216 = 81
]

Теперь 81 можно представить как:

[
4^3 = 64
]
Остаток:

[
81 - 64 = 17
]

17 можно представить как:

[
2^3 = 8
]
Остаток:

[
17 - 8 = 9
]

9 можно представить как:

[
1^3 = 1
]
Остаток:

[
9 - 1 = 8
]

8 можно представить как:

[
2^3 = 8
]

Теперь мы имеем разложение:

[
2025 = 12^3 + 6^3 + 4^3 + 2^3 + 1^3 + 2^3
]

Обозначим каждый куб, который мы использовали:

Это дает нам:

[
1 + 1 + 1 + 2 + 1 = 6
]

Таким образом, наименьшее количество натуральных чисел, сумма кубов которых равна 2025, равно 6.