Чтобы решить уравнение ( 9x^4 - 6x^2 + 1 = 0 ), можно сделать замену переменной. Пусть ( y = x^2 ). Тогда уравнение принимает вид:

[
9y^2 - 6y + 1 = 0
]

Теперь это квадратное уравнение, которое можно решить по формуле для корней квадратного уравнения:

[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]

В данном случае ( a = 9 ), ( b = -6 ), ( c = 1 ). Подставим эти значения в формулу:

[
y = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}
]
[
y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36}}{18}
]
[
y = \frac{6 \pm \sqrt{0}}{18}
]
[
y = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}
]

Теперь, вспомнив, что ( y = x^2 ), получаем:

[
x^2 = \frac{1}{3}
]

Теперь найдем ( x ):

[
x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}
]

Таким образом, уравнение ( 9x^4 - 6x^2 + 1 = 0 ) имеет два решения:

[
x_1 = \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad x_2 = -\frac{\sqrt{3}}{3}
]