Для решения обеих задач давайте начнем по очереди.

Задача 1

Основание прямого параллелепипеда – ромб с меньшей диагональю 6 см. Обозначим меньшую диагональ как (d_1 = 6) см, а большую диагональ как (d_2 = 10) см. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят его на четыре равных треугольника.

Найдем стороны ромба. Поскольку диаметр каждого из треугольников равен половине диагоналей:
[
\frac{d_1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см}, \quad \frac{d_2}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см}
]

Сторона ромба (a) определяется как:
[
a = \sqrt{ \left( \frac{d_1}{2} \right)^2 + \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 } = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \text{ см}
]

Теперь, используя данную информацию, можем найти площадь основания ромба:
[
S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{6 \cdot 10}{2} = 30 \text{ см}^2
]

Высота параллелепипеда (h) и боковое ребро (a) образуют угол 45°:
[
\tan(45°) = 1 = \frac{h}{a} \quad \Rightarrow \quad h = a = \sqrt{34} \text{ см}
]

Площадь боковой поверхности параллелепипеда:
[
S{\text{бок}} = 2 \cdot (S{\text{осн}} + S{\text{бок}}) = 2 \cdot (S + S + S) = 2 \cdot (a \cdot h + a \cdot h + a \cdot h) = 2 \cdot 3 = 6
]
Площадь боковой поверхности:
[
S{\text{бок}} = 4 \cdot a \cdot h = 4 \cdot \sqrt{34} \cdot \sqrt{34} = 4 \cdot 34 = 136 \text{ см}^2
]

Площадь полной поверхности:
[
S{\text{пол}} = 2 \cdot S + S{\text{бок}} = 2 \cdot 30 + 136 = 60 + 136 = 196 \text{ см}^2
]

Ответ: Площадь полной поверхности параллелепипеда составляет 196 см².

Задача 2

Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 8 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°.

Обозначим высоту пирамиды как (h = 8) см, боковое ребро как (l), а основание как квадрат со стороной (например (a)).Поскольку боковое ребро наклонено под углом 45°:
[
\sin(45°) = \frac{h}{l} \Rightarrow l = \frac{h}{\sin(45°)} = \frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 8\sqrt{2} \text{ см}
]

Ответ: Боковое ребро пирамиды составляет 8√2 см.