Для нахождения значений (\sin a), (\tan a) и (\cot a), зная значение (\cos a = \frac{\sqrt{21}}{5}), используем тригонометрическую тождество:

[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1
]

Подставим известное значение (\cos a):

[
\sin^2 a + \left(\frac{\sqrt{21}}{5}\right)^2 = 1
]

Посчитаем (\left(\frac{\sqrt{21}}{5}\right)^2):

[
\left(\frac{\sqrt{21}}{5}\right)^2 = \frac{21}{25}
]

Теперь подставим это значение в тождество:

[
\sin^2 a + \frac{21}{25} = 1
]
[
\sin^2 a = 1 - \frac{21}{25}
]
[
\sin^2 a = \frac{25}{25} - \frac{21}{25} = \frac{4}{25}
]

Теперь найдем (\sin a):

[
\sin a = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5}
]

Теперь можем найти (\tan a) и (\cot a):

(\tan a) определяется как:

[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{\sqrt{21}}{5}} = \frac{2}{\sqrt{21}}
]

(\cot a) является обратным значением (\tan a):

[
\cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{\sqrt{21}}{2}
]

Итак, мы имеем:

[
\sin a = \frac{2}{5}, \quad \tan a = \frac{2}{\sqrt{21}}, \quad \cot a = \frac{\sqrt{21}}{2}
]