В равностороннем треугольнике радиусы вписанной и описанной окружностей могут быть выражены через сторону треугольника ( a ).

Радиус описанной окружности ( R ) для равностороннего треугольника равен:
[
R = \frac{a}{\sqrt{3}}
]

Радиус вписанной окружности ( r ) для равностороннего треугольника равен:
[
r = \frac{a}{2\sqrt{3}}
]

Теперь выразим ( a ) через ( r ) и ( R ):

Из первого уравнения:
[
a = R \sqrt{3}
]

Из второго уравнения:
[
a = 2r \sqrt{3}
]

Поскольку оба выражения равны (( R \sqrt{3} = 2r \sqrt{3} )), можно приравнять их и решить относительно ( R ) и ( r ):
[
R = 2r
]

Теперь можно перейти к вычислению кривизны плоскости. Кривизна ( K ) для треугольника может быть определена через радиусы ( r ) и ( R ) следующим образом (в данном случае, это будет положительное значение):
[
K = \frac{1}{R} - \frac{1}{r} = \frac{1}{2r} - \frac{1}{r} = \frac{1 - 2}{2r} = -\frac{1}{2r}
]

Таким образом, когда радиус вписанной окружности ( r ) известен, величина ( K ) будет равна:
[
K = -\frac{1}{2r}
]

Следовательно, кривизна плоскости в случае равностороннего треугольника, у которого радиусы вписанной и описанной окружностей равны ( r ) и ( R ), выражается как ( K = -\frac{1}{2r} ), где ( R = 2r ).