Чтобы найти производную функции, нужно использовать правила дифференцирования, такие как правило произведения, правило частного и правило суммы. Давайте решим ваши примеры по очереди.

Для функции ( f(x) = 2x^5 \cdot 3x + 11 ):

Сначала можем упростить выражение:
( f(x) = 6x^6 + 11 ).

Теперь найдем производную:
[
f'(x) = \frac{d}{dx}(6x^6) + \frac{d}{dx}(11) = 6 \cdot 6x^{5} + 0 = 36x^5.
]

Для функции ( f(x) = (x^2 + 8) \cdot (2x - 1) ):

Здесь применим правило произведения:
Если ( u = x^2 + 8 ) и ( v = 2x - 1 ), то:
[
f'(x) = u'v + uv'.
]

Сначала найдем производные ( u' ) и ( v' ):
( u' = \frac{d}{dx}(x^2 + 8) = 2x ) и ( v' = \frac{d}{dx}(2x - 1) = 2 ).

Теперь подставим:
[
f'(x) = (2x)(2x - 1) + (x^2 + 8)(2).
]

Упрощаем:
[
f'(x) = 4x^2 - 2x + 2x^2 + 16 = 6x^2 - 2x + 16.
]

Для функции ( f(x) = \frac{x^2 - 3}{x + 1} ):

Здесь используем правило частного:
Если ( u = x^2 - 3 ), а ( v = x + 1 ), то:
[
f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}.
]

Найдем производные ( u' ) и ( v' ):
( u' = 2x ) и ( v' = 1 ).

Теперь подставляем:
[
f'(x) = \frac{(2x)(x + 1) - (x^2 - 3)(1)}{(x + 1)^2}.
]

Упрощаем числитель:
[
= \frac{2x^2 + 2x - x^2 + 3}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x + 3}{(x + 1)^2}.
]

Таким образом, производные для ваших функций:

( f'(x) = 36x^5 ).( f'(x) = 6x^2 - 2x + 16 ).( f'(x) = \frac{x^2 + 2x + 3}{(x + 1)^2} ).