Чтобы найти синус двугранного угла при основании правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно использовать данные об апофеме и радиусе описанной окружности.

Определим элементы пирамиды:

Дано: апофема ( l = 8 ) и радиус описанной окружности ( R = 3 ).Верхушка пирамиды обозначим как точка ( S ), а основания — как квадрат с вершинами ( A, B, C, D ).Радиус описанной окружности квадрата равен ( R = \frac{a}{\sqrt{2}} ), где ( a ) — сторона квадрата (основания пирамиды).

Найдём сторону основания квадрата:
[
3 = \frac{a}{\sqrt{2}} \implies a = 3\sqrt{2}
]

Найдём высоту ( h ) пирамиды. Для этого можем воспользоваться треугольником ( S O A ), где ( O ) — центр квадрата основания, а ( A ) — одна из вершин. В этом треугольнике:

Определяем расстояние ( OA ):
[
OA = \frac{a}{2} \sqrt{2} = 3
]

Сформируем уравнение для треугольника ( S O A ):
Воспользуемся теоремой Пифагора:
[
SA^2 = SO^2 + OA^2
]
То есть
[
l^2 = h^2 + OA^2
]
Подставляем известные значения:
[
8^2 = h^2 + 3^2
]
[
64 = h^2 + 9 \implies h^2 = 55 \implies h = \sqrt{55}
]

Теперь найдем синус двугранного угла ( \phi ). Синус угла между боковой гранью и основанием можно найти следующим образом:
[
\sin(\phi) = \frac{h}{l}
]
Подставляем значения:
[
\sin(\phi) = \frac{\sqrt{55}}{8}
]

Таким образом, синус двугранного угла при основании пирамиды равен ( \frac{\sqrt{55}}{8} ).