Формула для площади треугольника с вписанной окружностью действительно записывается как ( S = \frac{1}{2} P r ), где ( S ) — площадь треугольника, ( P ) — периметр треугольника, а ( r ) — радиус вписанной окружности.

Чтобы выразить радиус ( r ) через площадь ( S ) и периметр ( P ), можно воспользоваться этой формулой и преобразовать её:

Умножим обе стороны на 2:
[
2S = P r
]

Разделим обе стороны на ( P ) (при условии, что ( P \neq 0 )):
[
r = \frac{2S}{P}
]

Теперь мы получили формулу для нахождения радиуса вписанной окружности через площадь и периметр треугольника.

Теперь преобразуем формулу, чтобы найти периметр ( P ):

Начнем с той же формулы,
[
S = \frac{1}{2} P r
]

Умножим обе стороны на 2:
[
2S = P r
]

Разделим обе стороны на ( r ) (при условии, что ( r \neq 0 )):
[
P = \frac{2S}{r}
]

Теперь у нас есть формула для нахождения периметра треугольника через площадь и радиус вписанной окружности.