Для вычисления (\cos(\alpha + \beta)) воспользуемся формулой сложения косинусов:

[
\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
]

У нас есть значения (\sin \alpha) и (\cos \beta). Сначала найдем (\cos \alpha) и (\sin \beta).

Найдем (\cos \alpha).

Известно, что (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1).
[
\sin^2 \alpha = \left(-\frac{15}{17}\right)^2 = \frac{225}{289}
]
Следовательно,
[
\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{225}{289} = \frac{64}{289}
]
Так как ( \alpha ) находится во 3-й четверти, где косинус отрицательный, то:
[
\cos \alpha = -\sqrt{\frac{64}{289}} = -\frac{8}{17}
]

Найдем (\sin \beta).

Аналогично:
[
\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1
]
[
\cos^2 \beta = \left(\frac{8}{17}\right)^2 = \frac{64}{289}
]
Следовательно,
[
\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - \frac{64}{289} = \frac{225}{289}
]
Так как ( \beta ) находится в 4-й четверти, где синус отрицательный, то:
[
\sin \beta = -\sqrt{\frac{225}{289}} = -\frac{15}{17}
]

Теперь подставим все найденные значения в формулу.

Подставляем:
[
\cos(\alpha + \beta) = (-\frac{8}{17}) \cdot (\frac{8}{17}) - (-\frac{15}{17}) \cdot (-\frac{15}{17})
]

Расчитываем:
[
\cos(\alpha + \beta) = -\frac{64}{289} - \frac{225}{289} = -\frac{64 + 225}{289} = -\frac{289}{289} = -1
]

Таким образом, ответ:

[
\cos(\alpha + \beta) = -1
]