Для нахождения значения (\cos(\alpha + \beta)) мы используем формулу сложения углов:

[
\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
]

У нас есть значения (\sin \alpha = -\frac{15}{17}) и (\cos \beta = \frac{8}{17}), но нам нужно вычислить (\cos \alpha) и (\sin \beta).

Вычислим (\cos \alpha).

Зная (\sin \alpha), можем использовать тригонометрическое тождество:

[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
]

Подставим (\sin \alpha):

[
\left(-\frac{15}{17}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1
]

[
\frac{225}{289} + \cos^2 \alpha = 1
]

[
\cos^2 \alpha = 1 - \frac{225}{289} = \frac{289}{289} - \frac{225}{289} = \frac{64}{289}
]

Теперь находим (\cos \alpha):

[
\cos \alpha = -\sqrt{\frac{64}{289}} = -\frac{8}{17}
]

(знак минус, поскольку (\alpha) находится в третьем квадранте).

Вычислим (\sin \beta).

Известно (\cos \beta), поэтому также используем тождество:

[
\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1
]

Подставляем (\cos \beta):

[
\sin^2 \beta + \left(\frac{8}{17}\right)^2 = 1
]

[
\sin^2 \beta + \frac{64}{289} = 1
]

[
\sin^2 \beta = 1 - \frac{64}{289} = \frac{289}{289} - \frac{64}{289} = \frac{225}{289}
]

Теперь находим (\sin \beta):

[
\sin \beta = -\sqrt{\frac{225}{289}} = -\frac{15}{17}
]

(знак минус, поскольку (\beta) находится в четвертом квадранте).

Теперь подставим значения в формулу для (\cos(\alpha + \beta)):

[
\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
]

Подставляем найденные значения:

[
\cos(\alpha + \beta) = \left(-\frac{8}{17}\right) \left(\frac{8}{17}\right) - \left(-\frac{15}{17}\right) \left(-\frac{15}{17}\right)
]

[
= -\frac{64}{289} - \frac{225}{289}
]

[
= -\frac{64 + 225}{289} = -\frac{289}{289} = -1
]

Таким образом, окончательный ответ:

[
\cos(\alpha + \beta) = -1
]