В геометрической прогрессии каждый член выражается через первый член и коэффициент прогрессии. Если первый член обозначить как ( b_1 ), а общий множитель (коэффициент прогрессии) — как ( q ), то ( n )-й член определяется формулой:

[
b_n = b_1 \cdot q^{n-1}
]

Согласно условию, у нас есть:

[
b_7 = b_1 \cdot q^{6} = -16
]

[
b_{10} = b_1 \cdot q^{9} = -128
]

Теперь мы можем разделить второе уравнение на первое, чтобы избавиться от ( b_1 ):

[
\frac{b{10}}{b{7}} = \frac{b_1 \cdot q^{9}}{b_1 \cdot q^{6}} = \frac{b_1 \cdot q^{9}}{b_1 \cdot q^{6}} = q^{3}
]

Подставим значения:

[
\frac{-128}{-16} = q^{3}
]

Это дает:

[
8 = q^3
]

Теперь найдем ( q ):

[
q = \sqrt[3]{8} = 2
]

Теперь подставим значение ( q ) в первое уравнение для нахождения ( b_1 ):

[
b_7 = b_1 \cdot q^{6} \Rightarrow -16 = b_1 \cdot 2^{6}
]

[
-16 = b_1 \cdot 64
]

Разделим обе стороны на 64:

[
b_1 = \frac{-16}{64} = -\frac{1}{4}
]

Таким образом, мы нашли значения:

[
b_1 = -\frac{1}{4}, \quad q = 2.
]