Для решения вашей задачи рассмотрим треугольник (ABC) с заданными сторонами (AB = 12), (BC = 10) и (AC = 18).

Расчёт координат вершин треугольника. Начнём с выбора системы координат, где точка (A) будет находиться в начале координат (то есть в точке (A(0, 0))), точка (B) будет находиться на оси (x) в точке (B(12, 0)). Для нахождения координат точки (C) используем длины сторон.

Если обозначить координаты точки (C) как (C(x_C, y_C)), то:

Расстояние от точки (A) до точки (C):
[
\sqrt{x_C^2 + y_C^2} = 18,
]
что упрощается до (x_C^2 + y_C^2 = 324).Расстояние от точки (B) до точки (C):
[
\sqrt{(x_C - 12)^2 + y_C^2} = 10,
]
что преобразуется в ( (x_C - 12)^2 + y_C^2 = 100).

Второе уравнение:
[
(x_C - 12)^2 + y_C^2 = 100 \implies x_C^2 - 24x_C + 144 + y_C^2 = 100.
]
Подставляем из первого уравнения:
[
324 - 24x_C + 144 = 100,
]
что приводит к:
[
-24x_C + 468 = 100 \implies 24x_C = 368 \implies x_C = \frac{368}{24} \approx 15.33.
]
Вставляем значение (x_C) обратно в первое уравнение для нахождения (y_C):
[
\left(\frac{368}{24}\right)^2 + y_C^2 = 324.
]
После упрощения мы можем найти (y_C).

Нахождение точек (K) и (L).
Пусть (AL) – биссектрисса, которая делит угол (A) пополам. Точка (K) располагается на стороне (AC) так, что (BK \perp AL), следовательно, она находится на определённом расстоянии от (A), которое можно найти при заданной длине (AC).

Разделение генеративной линии.
Используем соотношение между углами и сторонами, чтобы утверждать, что биссектрисса угла (C) делит отрезок (KL) пополам.

Наконец, ищем соотношение отрезков (AF: FK). Для этого применим свойства биссектрис:
[
\frac{AF}{FK} = \frac{AB}{AC} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}.
]

Таким образом, мы показали нужные свойства биссектрисы и вычислили отношение отрезков. Ответ: ( \frac{AF}{FK} = \frac{2}{3} ).