Релятивистское уравнение Бернулли для жидкости можно вывести, основываясь на принципах специальной теории относительности и гидродинамике. Для этого рассмотрим основные идеи, позволяющие адаптировать известное уравнение Бернулли для условий, когда скорости жидкостей близки к скорости света.

Основные предпосылки: Уравнение Бернулли для стационарного потока идеальной несжимаемой жидкости задается как:
$$P+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh=\text{const}$$ где $P$ — давление, $\rho$ — плотность жидкости, $v$ — скорость потока, $g$ — ускорение свободного падения, $h$ — высота на поверхности.

Специальная теория относительности: При релятивистских скоростях важно учитывать, что масса увеличивается с увеличением скорости, и возникает необходимость вводить релятивистский эффективный момент инерции. Релятивистская скорость $v_{rel}$ связана с классической через:
$$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ где $c$ — скорость света.

Энергия и релятивистская масса: Общая энергия жидкости, движущейся с релятивистской скоростью, может быть выражена как:
$$E=\gamma m{c}^2$$

Выражение для давления: Используя уравнения состояния и релятивистские эффекты, можно показать, что давление и скорость потока взаимосвязаны. При высоких скоростях нужно учитывать релятивистские коррекции на кинетическую энергию.

Формулирование уравнения: На основании вышеуказанных соотношений и принципа сохранения энергии, можно записать релятивистское уравнение Бернулли в следующем виде:
$$P+\frac{1}{2}\frac{\rho v^2}{{\gamma }^2}+\rho gh=\text{const}$$

Эта форма учитывает релятивистский эффект на кинетическую энергию потока жидкости, что становится значимым при скоростях, близких к скорости света.

Чтобы получить это уравнение строго, потребуется гораздо более глубокое применение математических методов и концепций специальной теории относительности к гидродинамике, включая использование тензоров и уравнений Навье-Стокса в релятивистской форме.