Обозначим десятизначное число как $N=a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5$, где $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ — это цифры числа. Поскольку первые пять цифр совпадают с последними пятью, число можно представить в виде:

$$N=100000000a_1+10000000a_2+1000000a_3+100000a_4+10000a_5+1000a_1+100a_2+10a_3+a_4.$$

Это выражение можно упростить как:

$$N=1001001000a_1+10010000a_2+1001000a_3+100100a_4+10010a_5.$$

Теперь чтобы выяснить, делится ли это число на 11, применим правило делимости на 11. Напомним, что число делится на 11, если разность суммы его четных и нечетных цифр делится на 11.

Запишем четные и нечетные позиции:

Теперь найдем сумму цифр на нечетных и четных позициях:

Сумма нечетных позиций:
$$S_{\text{нечет}}=a_1+a_3+a_5+a_1+a_3=2a_1+2a_3+a_5.$$

Сумма четных позиций:
$$S_{\text{чет}}=a_2+a_4+a_1+a_2+a_4=2a_2+2a_4+a_1.$$

Теперь найдем разность:
$$D=S<em>\text{чет}-S</em>\text{нечет}=(2a_2+2a_4+a_1)-(2a_1+2a_3+a_5).$$ Упростим эту разность:
$$D=2a_2+2a_4+a_1-2a_1-2a_3-a_5=2a_2+2a_4-2a_3-a_5-a_1.$$

Как видно, разность $D$ представляет собой выражение, в котором коэффициенты могут меняться в зависимости от значений цифр. Тем не менее, так как числа $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ могут принимать любые значения от 0 до 9, мы можем всегда подбирать такие $a_i$, что $D$ будет делиться на 11, что свидетельствует о том, что $N$ делится на 11.

Теперь о делимости на другие числа.

Приведем разложение числа $N$:
$$N=1001001000a_1+10010000a_2+1001000a_3+100100a_4+10010a_5.$$ Обратите внимание, что все множители $1001001000,10010000,1001000,100100,10010$ имеют общий множитель 10. То есть, $N$ делится на 10.

Теперь проверим делимость на 9. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9:
$$S=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=2(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5).$$ Следовательно, если $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$ делится на 9, то $N$ делится на 9.

Таким образом, мы доказали, что данное десятизначное число $N$ делится на 11 и 10. Также оно делится на 9, если сумма цифр $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ делится на 9.