Чтобы найти тангенс угла ( A ) в треугольнике ( ABC ), где ( AB = 10 ) и ( AC = 16 ), а стороны ( AB ) и ( BC ) равны, начнем с обозначения сторон:

Пусть ( BC = AB = 10 ).Сторона ( AC ) равна ( 16 ).

Теперь мы можем использовать теорему косинусов для нахождения угла ( A ):

[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(A),
]

где ( c ) – это сторона ( AC ), ( a ) – это сторона ( AB ), а ( b ) – это сторона ( BC ).

Подставим известные значения:

( a = AB = 10 ),( b = BC = 10 ),( c = AC = 16 ).

Получаем уравнение:

[
16^2 = 10^2 + 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos(A).
]

Это можно записать как:

[
256 = 100 + 100 - 200 \cdot \cos(A).
]

Упростим уравнение:

[
256 = 200 - 200 \cdot \cos(A).
]

Теперь решим его:

[
200 \cdot \cos(A) = 200 - 256,
]
[
200 \cdot \cos(A) = -56,
]
[
\cos(A) = -\frac{56}{200} = -\frac{14}{50} = -\frac{7}{25}.
]

Теперь мы можем найти ( \sin(A) ) с использованием теоремы Пифагора. Мы знаем, что:

[
\sin^2(A) + \cos^2(A) = 1.
]

Подставим значение ( \cos(A) ):

[
\sin^2(A) + \left(-\frac{7}{25}\right)^2 = 1,
]
[
\sin^2(A) + \frac{49}{625} = 1,
]
[
\sin^2(A) = 1 - \frac{49}{625},
]
[
\sin^2(A) = \frac{625 - 49}{625} = \frac{576}{625},
]
[
\sin(A) = \frac{24}{25}.
]

Теперь мы можем найти тангенс угла ( A ):

[
\tan(A) = \frac{\sin(A)}{\cos(A)} = \frac{\frac{24}{25}}{-\frac{7}{25}} = -\frac{24}{7}.
]

Таким образом, тангенс угла ( A ) равен:

[
\tan(A) = -\frac{24}{7}.
]