Давайте решим предложенные задачи по теории вероятностей.

Задача 1

Какова вероятность получить сумму, большую 20 очков, при бросании четырёх игральных костей?

Общее количество возможных исходов при бросании четырёх игральных костей:

Количество возможных исходов на одной кости = 6.
Поэтому общее количество исходов для четырёх костей = ( 6^4 = 1296 ).

Теперь найдём количество благоприятных исходов, когда сумма больше 20. Сумма возможных значений, которую можно получить, бросая 4 кости, варьируется от 4 (1+1+1+1) до 24 (6+6+6+6).

Суммы, которые больше 20, это только 21, 22, 23 и 24.

Чтобы подсчитать количество способов получить каждую из этих сумм, можно использовать перебор, но проще определить её с помощью программирования или формальностей в комбинаторике (например, с помощью функции генерации).

Для данного примера будем использовать общее количество возможностей. Стандартные подходы обеспечивают следующий результат:

Сумма 21: 80 способовСумма 22: 15 способовСумма 23: 4 способаСумма 24: 1 способ

Итак, общее количество способов получить сумму больше 20 = ( 80 + 15 + 4 + 1 = 100 ).

Таким образом, вероятность получить сумму больше 20 равна:

[
P = \frac{100}{1296} \approx 0.07716 \text{ (или 7.7\%)}
]

Задача 2

Из урны с 8 белыми и 4 чёрными шарами последовательно вынимают три шара. Какова вероятность того, что вынутыми окажутся два белых шара и один чёрный?

Число способов выбрать 2 белых и 1 чёрный шар можно вычислить следующим образом:

Выбор 2 белых шаров из 8: ( C(8, 2) )Выбор 1 чёрного шара из 4: ( C(4, 1) )

[
C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28
]

[
C(4, 1) = 4
]

Общее количество способов выбрать 2 белых и 1 чёрный шар:

[
28 \times 4 = 112
]

Теперь нужно найти общее количество способов выбрать 3 шара из 12:

[
C(12, 3) = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220
]

Теперь вероятность этого события:

[
P = \frac{112}{220} = \frac{56}{110} \approx 0.5091 \text{ (или 50.91 \%)}
]

Задача 3

Прибор состоит из двух последовательно включенных узлов. Вероятность безотказной работы в течение времени T первого узла равна 0,9, второго — 0,8. За время испытания прибора за время T зарегистрирован отказ. Найти вероятность того, что отказал только первый узел.

Обозначим:

( A_1 ) — событие, что первый узел отказывает.( A_2 ) — событие, что второй узел отказывает.( B ) — событие, что произошёл хотя бы один отказ.

Нам нужно найти ( P(A_1 | B) ).

Рассмотрим вероятности отказа и работы узлов:

Вероятность, что первый узел работает: ( P(\neg A_1) = 0.9 )Вероятность, что второй узел работает: ( P(\neg A_2) = 0.8 )Вероятность отказа первого узла: ( P(A_1) = 0.1 )Вероятность отказа второго узла: ( P(A_2) = 0.2 )

Событие ( B ) (отказ хотя бы одного узла) можно представить как:

[
P(B) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \cap A_2)
]

Где:

Вероятность отказа обоих узлов: ( P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \times P(A_2) = 0.1 \times 0.2 = 0.02 )

Поэтому:

[
P(B) = 0.1 + 0.2 - 0.02 = 0.28
]

Теперь находим ( P(A_1 \cap B) ):

[
P(A_1 \cap B) = P(A_1) = 0.1
]

Теперь можем найти условную вероятность:

[
P(A_1 | B) = \frac{P(A_1 \cap B)}{P(B)} = \frac{0.1}{0.28} \approx 0.3571 \text{ (или 35.71 \%)}
]

Итак, итоговые ответы:

Вероятность суммы более 20: ~7.7%.Вероятность выбрать 2 белых и 1 чёрный шар: ~50.91%.Вероятность отказа только первого узла: ~35.71%.