Давайте найдем площади фигур, ограниченных указанными линиями, поочередно.

1. Площадь между кривой (y=\ln x) и прямыми (x=e), (x=e^2), (y=0)

Площадь можно найти, вычисляя определенный интеграл от кривой до оси (y=0):

[
A = \int_{e}^{e^2} \ln x \, dx
]

Чтобы вычислить этот интеграл, используем метод интегрирования по частям:

Пусть (u = \ln x), тогда (du = \frac{1}{x} \, dx) и (dv = dx), откуда (v = x).

Применяя формулу интегрирования по частям:

[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
]

Мы имеем:

[
A = \left[ x \ln x \right]{e}^{e^2} - \int{e}^{e^2} x \cdot \frac{1}{x} \, dx
]
[
= \left[ x \ln x \right]{e}^{e^2} - \int{e}^{e^2} 1 \, dx
]
[
= \left[ e^2 \ln e^2 - e \ln e \right] - \left[ x \right]_{e}^{e^2}
]
[
= \left[ e^2 \cdot 2 - e \cdot 1 \right] - \left[ e^2 - e \right]
]
[
= (2e^2 - e) - (e^2 - e) = 2e^2 - e - e^2 + e = e^2
]

Таким образом, площадь равна (A = e^2).

2. Площадь между кривой (y=\frac{1}{\sqrt{x}}), осью (Oy) и прямой (x=1)

Для этой задачи нам нужно рассмотреть интеграл от кривой до оси (y=0):

[
A = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx
]

Чтобы вычислить этот интеграл, воспользуемся формулой для интеграла:

[
A = \left[ 2\sqrt{x} \right]_{0}^{1} = 2\sqrt{1} - 2\sqrt{0} = 2 - 0 = 2
]

Таким образом, площадь равна (A = 2).

3. Площадь, ограниченная окружностью (x^2+y^2=8) и параболой (2x=y^2)

Сначала найдем точки пересечения окружности и параболы, подставив (y^2=2x) в уравнение окружности:

[
x^2 + (2x)^2 = 8 \implies x^2 + 4x^2 = 8 \implies 5x^2 = 8 \implies x^2 = \frac{8}{5} \implies x = \pm\sqrt{\frac{8}{5}}
]
[
y = \pm 2\sqrt{\frac{8}{5}}
]

Теперь вычислим площадь. Площадь может быть найдена, интегрируя разницу между верхней и нижней функциями по оси (x):

Сначала определим уравнение окружности для (y):

[
y = \sqrt{8 - x^2}
]

Для нахождения площади от (x = 0) до (x = \sqrt{\frac{8}{5}}):

[
A = 2 \int_0^{\sqrt{\frac{8}{5}}} \left( \sqrt{8 - x^2} - 2\sqrt{x} \right) dx,
]

где множитель 2 используется для учета симметрии.

Теперь вычислим этот интеграл. Первый интеграл:

[
\int \sqrt{8 - x^2} \, dx = \frac{1}{2} \left( x\sqrt{8-x^2} + 8\sin^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{8}}\right) \right)
]

Второй интеграл:

[
\int 2\sqrt{x} \, dx = \frac{4}{3} x^{3/2}
]

Теперь вычислим:

[
A = 2 \left( \left[ \frac{x\sqrt{8 - x^2}}{2} + 4\sin^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{8}}\right) \right]_0^{\sqrt{\frac{8}{5}}} - \left[ \frac{4}{3} x^{3/2} \right]_0^{\sqrt{\frac{8}{5}}} \right)
]

Упрощая и подставляя значения, получим нужный ответ. Площадь, ограниченная окружностью и параболой, окажется:

[
A = \text{площадь} = \text{численное значение, которое вы можете вычислить на основе заданных пределов.}
]

Таким образом, в этой задаче необходимо произвести численные вычисления для получения точной величины площади.