Чтобы понять, имеет ли функция ( f ) предел в точке ( x_0 ), необходимо проанализировать поведение функции при приближении аргумента ( x ) к значению ( x_0 ). Вот основные шаги:

Определите точку ( x_0 ): Это точка, в которой вы хотите исследовать предел функции.

Исследуйте значения функции: Посмотрите на значения функции ( f(x) ) при ( x ), стремящемся к ( x_0 ) с обеих сторон:

Сначала приближаемся к ( x_0 ) слева (значения меньше ( x_0 )).Затем приближаемся к ( x_0 ) справа (значения больше ( x_0 )).

Сравните лимиты: Если существует конечный предел, когда ( x \to x_0^- ) (слева) и ( x \to x_0^+ ) (справа), и эти лимиты равны, то можно сказать, что предел ( f(x) ) в точке ( x0 ) существует и равен этому значению:
[
\lim{x \to x_0} f(x) = L
]
где ( L ) — это общее значение предела.

Проверьте график функции: Если вы построили график функции, посмотрите, что происходит в окрестности точки ( x_0 ). Если график "подходит" к определенному значению ( L ) (горизонтальной линии) как с одной, так и с другой стороны, то это подтверждает, что предел существует.

Особые случаи: Обратите внимание на возможные разрывы, асимптоты и другие особенности функции:

Если функция стремится к бесконечности или колеблется без определённого значения, предел не существует.Если функция не определена в точке ( x_0 ), но определена в окрестности, все равно можно исследовать предел.Примеры:

Для функции ( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} ) на ( x_0 = 1 ), предел не существует, так как функция имеет разрыв в этой точке.

Для функции ( g(x) = \sin(x) ) на ( x0 = 0 ) предел существует и равен 0:
[
\lim{x \to 0} g(x) = \sin(0) = 0.
]

Если у вас есть конкретная функция и точка, с которой вы работаете, пожалуйста, предоставьте детали, и я помогу проанализировать её.