Для того, чтобы построить график функции ( y = \frac{0.75x^2 + 1.5x}{x + 2} ) и определить значения ( m ), при которых прямая ( y = m ) не пересекается с графиком функции, сначала упростим и проанализируем данную функцию.

Построение графика функции

Определите область определения функции: Функция имеет определение для всех ( x ), кроме ( x = -2 ), так как в этом случае знаменатель обращается в ноль.

Найдем поведение функции:

Найдем пределы функции при ( x \to \infty ) и ( x \to -\infty ):
[
\lim{x \to \infty} y = \lim{x \to \infty} \frac{0.75x^2 + 1.5x}{x + 2} = \lim{x \to \infty} \frac{0.75x^2}{x} = 0.75x = 0.75 \cdot \infty \to \infty
]
[
\lim{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \frac{0.75x^2 + 1.5x}{x + 2} = 0.75
]

Найдите промежуточные значения: Определите, где функция может иметь экстремумы и где она может пересекаться с осью x. Для этого найдем производную функции и найдем критические точки.

Решение уравнения ( y = 0 ): Условие ( y = 0 ) даст вам значения ( x ), где график функции пересекает ось x. Уравнение:
[
0 = \frac{0.75x^2 + 1.5x}{x + 2}
]
знаменатель не равен нулю.

Таким образом, для ( 0.75x^2 + 1.5x = 0 ):
[
x(0.75x + 1.5) = 0
]
Решения:
[
x = 0 \quad \text{или} \quad 0.75x + 1.5 = 0 \Rightarrow x = -2
]

Определение условий для прямой ( y = m )

Прямая ( y = m ) не пересечется с графиком, если ( m ) не находится в диапазоне значений функции:

Способы нахождения границ:

Изменяя ( x ), необходимо найти максимальное и минимальное значения функции на интервале ( x \in (-\infty, -2) \cup (-2, \infty) ).

Для этого вы должны провести анализ первой производной функции ( y' ) и выяснить, где она равна нулю.

Обсудите значения ( m ): Если максимальное и минимальное значения функции находятся между двумя значениями ( a ) и ( b ), прямая не будет пересекать график функции, когда ( m < a ) или ( m > b ).

Учитывая, что функция определена по всей оси ( x ), кроме точки ( x = -2 ) и предела приближается к ( 0.75 ) при ( x \to -\infty ), дальнейший анализ должен выявить, какие конкретно значения будут вызывать, что прямая не будет пересекать график.

Резюме

В заключение, для определения значений ( m ) необходимо исследовать график (с помощью анализа производной и поведения функции) и строить, где ( m ) должен находиться, чтобы не пересекаться с графиком. В целом, если функция ведет себя так, как описано выше, то прямая не будет пересекаться с графиком, если ( m < 0.75 ) или ( m > ) максимального значения функции, находящегося в значении где функции будет стремиться.

В результате, вам нужно провести численный или графический анализ для точного определения диапазона ( m ), где прямая будет не пересекаться с графиком функции.