Это свойство степеней можно понять через определение степеней и правила деления.

Если мы рассматриваем число ( a ) (где ( a \neq 0 )), то по определению степени:

( a^n ) означает умножение числа ( a ) на себя ( n ) раз. Например, ( a^3 = a \times a \times a ).

Для дробей, если мы имеем:

( a^{-n} ) (где ( n ) — натуральное число), то это определено как ( \frac{1}{a^n} ).

Таким образом, если представить ( a^{-n} ) через положительную степень, мы получаем:

[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} ]

Это также связано с тем, как мы можем представлять деление в простых случаях. Например:

[ a^n \div a^n = 1 ]

С другой стороны, используя правила степеней, мы знаем:

[ a^n \div a^n = a^{n-n} = a^0 = 1]

Теперь, если мы перенесем один из множителей ( a^n ) в знаменатель, получаем:

[ 1 = a^n \div a^n = a^{n-n} = a^0 ]

Таким образом:

Мы видим, что ( a^{-n} ) равно ( \frac{1}{a^n} ), что подтверждает, что число в отрицательной степени равняется единице, делённой на то же число в положительной степени.

Это объясняет, почему число в отрицательной степени получается равным ( 1 ) делённому на то же число, возведённое в положительную степень.