В равностороннем треугольнике все стороны равны, и его высота, медиана и биссектрисы совпадают.

Пусть ( ZP ) — одна из сторон равностороннего треугольника ( ZPX ), а ( PM ) — медиана, проведенная из вершины ( P ) к середине стороны ( ZP ). Мы знаем, что расстояние от точки пересечения биссектрис, которое также является точкой пересечения медиан и высот, до стороны ( ZP ) равно 30 см. Эта точка называется центром треугольника и обозначается буквой ( G ) (центр масс).

Для равностороннего треугольника со стороной ( a ) высота ( h ) и медиана ( m ), проведенная из вершины, вычисляются по следующим формулам:

[
h = \frac{\sqrt{3}}{2} a,
]
[
m = \frac{h}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{6} a.
]

Поскольку расстояние от центра масс до стороны ( ZP ) равно ( \frac{2}{3} h ), мы можем записать:

[
\frac{2}{3} h = 30 \text{ см}.
]

Отсюда найдем высоту:

[
h = \frac{30 \cdot 3}{2} = 45 \text{ см}.
]

Теперь подставим значение ( h ) в формулу для высоты:

[
\frac{\sqrt{3}}{2} a = 45.
]

Решаем это уравнение относительно ( a ):

[
a = \frac{45 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{90}{\sqrt{3}} = 30\sqrt{3}.
]

Теперь находим медиану ( PM ):

[
m = \frac{\sqrt{3}}{6} a = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot 30\sqrt{3} = \frac{30 \cdot 3}{6} = 15 \text{ см}.
]

Таким образом, длина медианы ( PM ) равна 15 см.