Для решения этой задачи можно воспользоваться свойствами объемов и сечений тетраэдра.

Вычислим объем правильного тетраэдра со стороной 7. Объем V можно найти по формуле:

[
V = \frac{a^3}{6\sqrt{2}},
]

где (a) — длина ребра тетраэдра. Подставим значение:

[
V = \frac{7^3}{6\sqrt{2}} = \frac{343}{6\sqrt{2}}.
]

Обозначим общий объем тетраэдра как (V_0) и объем меньшей фигуры (треугольной пирамиды) как (V_1). Объем большей фигуры (которая остается после сечения) будет (V_2).

Согласно условию, форматотношение их объемов:

[
\frac{V_1}{V_2} = \frac{34}{123}.
]

Затем введем отношение:

[
V_1 = 34k,
]
[
V_2 = 123k,
]

где (k) — некоторый коэффициент. Общий объем тетраэдра составит:

[
V_0 = V_1 + V_2 = 34k + 123k = 157k.
]

Теперь подставим известный объем правильного тетраэдра:

[
157k = \frac{343}{6\sqrt{2}}.
]

Таким образом, (k) выражается как:

[
k = \frac{343}{157 \cdot 6\sqrt{2}}.
]

Теперь найдем объем меньшей фигуры (V_1):

[
V_1 = 34k = 34 \cdot \frac{343}{157 \cdot 6\sqrt{2}} = \frac{11662}{157 \cdot 6\sqrt{2}}.
]

Определим площадь сечения тетраэдра. Сечение тетраэдра может быть представлено как треугольником, если оно проходит через три вершины или как треугольной пирамидой, если сечение проходит через одну из вершин и середины противоположных ребер.

Объемы пропорциональны площадям оснований на одинаковой высоте, поэтому:

[
\frac{S_1}{S_0} = \frac{V_1}{V_0} = \frac{34k}{157k} = \frac{34}{157}.
]

Теперь, для нахождения площади (S_0) тетраэдра со стороной 7, используем:

[
S_0 = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}(7^2) = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 49 = \frac{49\sqrt{3}}{4}.
]

Площадь сечения (S_1) будет:

[
S_1 = S_0 \cdot \frac{34}{157} = \frac{49\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{34}{157} = \frac{1666\sqrt{3}}{628}.
]

Сократим дробь:

[
S_1 = \frac{833\sqrt{3}}{314}.
]

В итоге, площадь сечения плоскости через правильный тетраэдр составляет:

[
S_1 = \frac{833\sqrt{3}}{314}.
]