Для решения данной задачи будем использовать свойства касательных к окружности и некоторые геометрические соотношения.

Имеем:

( MA = MB = 10 ) (так как касательные от точки к окружности равны),угол ( AOB = 60^\circ ).

Чтобы найти расстояние между точками касания ( A ) и ( B ) на окружности, воспользуемся следующим фактом:

Расстояние ( AB ) можно найти по формуле:
[
AB = 2 \cdot MA \cdot \sin\left(\frac{\angle AOB}{2}\right).
]

Подставим известные значения:
[
\angle AOB = 60^\circ \implies \frac{\angle AOB}{2} = 30^\circ.
]
[
\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}.
]

Теперь подставим эти данные в формулу для ( AB ):
[
AB = 2 \cdot 10 \cdot \sin(30^\circ) = 2 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 10.
]

Таким образом, расстояние между точками касания ( A ) и ( B ) равно ( \boxed{10} ).