Для решения задачи сначала найдем объемы вписанных сфер в каждом из тетраэдров.

Формула для радиуса вписанной сферы r в правильном тетраэдре со стороной a:

[
r = \frac{a \sqrt{6}}{12}
]

Где a — длина ребра тетраэдра.

Для нахождения длины ребра tetrahedron можно использовать высоту. Высота h правильного тетраэдра через его сторону a определяется следующим образом:

[
h = \frac{\sqrt{2}}{2} a \sqrt{3}
]

Из этой формулы можно выразить a через h:

[
a = \frac{h \sqrt{2}}{\sqrt{3}}
]

Теперь подставляем значение a в формулу для радиуса r:

[
r = \frac{\frac{h \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \sqrt{6}}{12} = \frac{h \sqrt{2} \sqrt{6}}{12 \sqrt{3}} = \frac{h \sqrt{12}}{12 \sqrt{3}} = \frac{h \sqrt{4}}{12} = \frac{h}{6}
]

Объем V вписанной сферы можно найти по формуле:

[
V = \frac{4}{3} \pi r^3
]

Подставляем r:

[
V = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{h}{6}\right)^3 = \frac{4}{3} \pi \frac{h^3}{216} = \frac{4 \pi h^3}{648} = \frac{\pi h^3}{162}
]

Теперь найдем объемы вписанных сфер для каждого из трех куличей (тетраэдров).

Для первого кулича (h1 = 45):

[
V_1 = \frac{\pi (45)^3}{162} = \frac{\pi \cdot 91125}{162} = \frac{91125 \pi}{162}
]

Для второго кулича (h2 = 56):

[
V_2 = \frac{\pi (56)^3}{162} = \frac{\pi \cdot 175616}{162} = \frac{175616 \pi}{162}
]

Для третьего кулича (h3 = 78):

[
V_3 = \frac{\pi (78)^3}{162} = \frac{\pi \cdot 456533}{162} = \frac{456533 \pi}{162}
]

Теперь найдем отношения объемов:

[
\text{Отношение объемов} = V_1 : V_2 : V_3 = 91125 : 175616 : 456533
]

Теперь, чтобы упростить эти дроби, найдем наибольший общий делитель.

Объемы уже могут быть не кратны друг другу, смотрим на полученные числа:

Расчёт показывает, что нахождение точного отношения без применения калькулятора затруднительно. Однако, вы можете использовать определённые инструменты или программы для анализа этих чисел; в следующем шаге будет верно записать:

[
\text{Отношение объемов} \approx 91125:175616:456533 \quad (точное значение может быть найдено через программное обеспечение или дополнительные вычисления)
]

Это и будет искомое отношение объемов вписанных сфер в куличи.