Чтобы сравнить ( \sin \frac{5\pi}{18} ) и ( \tan \frac{\pi}{7} ), можно использовать некоторые тригонометрические свойства и зависимости. Напомним, что тангенс можно записать через синус и косинус:

[
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}
]

Таким образом:

[
\tan \frac{\pi}{7} = \frac{\sin \frac{\pi}{7}}{\cos \frac{\pi}{7}}
]

Теперь нам нужно определить, больше ли ( \sin \frac{5\pi}{18} ), чем ( \tan \frac{\pi}{7} ):

[
\sin \frac{5\pi}{18} \text{ и } \tan \frac{\pi}{7}
]

Сравним их, начиная с того, что вместо того, чтобы находить их значения, мы можем попробовать установить неравенство:

[
\sin \frac{5\pi}{18} \stackrel{?}{>} \tan \frac{\pi}{7}
]

Преобразуем неравенство:

[
\sin \frac{5\pi}{18} \stackrel{?}{>} \frac{\sin \frac{\pi}{7}}{\cos \frac{\pi}{7}}
]

Умножим обе стороны на ( \cos \frac{\pi}{7} ) (это значение положительное в этом диапазоне):

[
\sin \frac{5\pi}{18} \cdot \cos \frac{\pi}{7} \stackrel{?}{>} \sin \frac{\pi}{7}
]

Теперь, чтобы проверить это неравенство, можно воспользоваться числовыми значениями:

Вычислим ( \sin \frac{5\pi}{18} ) и ( \sin \frac{\pi}{7} ).Рассчитаем ( \cos \frac{\pi}{7} ).

Однако, если мы не хотим делать точные вычисления, можно заметить, что углы ( \frac{5\pi}{18} ) и ( \frac{\pi}{7} ) примерно равны, и в этом случае проверка может быть наглядной. Если мы умеем определять значения углов и знаем, как они соотносятся, можно также использовать свойства монотонности функции.

Для быстрого сравнения можно также использовать численные значения:

( \sin \frac{5\pi}{18} \approx 0.9659 )( \tan \frac{\pi}{7} \approx 0.436 )

Сравнив, видим, что:

[
\sin \frac{5\pi}{18} > \tan \frac{\pi}{7}
]

Таким образом, окончательный ответ:

[
\sin \frac{5\pi}{18} > \tan \frac{\pi}{7}
]