Чтобы найти точку минимума функции ( y = x^3 - 108x + 11 ), сначала необходимо найти её производную и установить равенство к нулю.

Найдем производную функции: [
y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 108x + 11) = 3x^2 - 108
]

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: [
3x^2 - 108 = 0
]
[
3x^2 = 108
]
[
x^2 = 36
]
[
x = 6 \quad \text{или} \quad x = -6
]

Теперь найдем вторую производную для определения типа критических точек: [
y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 108) = 6x
]

Подставим критические точки в вторую производную:

Для ( x = 6 ):
[
y''(6) = 6 \times 6 = 36 > 0 \quad \text{(минимум)}
]

Для ( x = -6 ):
[
y''(-6) = 6 \times (-6) = -36 < 0 \quad \text{(максимум)}
]

Подсчитаем значение функции в точке минимума (при ( x = 6 )): [
y(6) = 6^3 - 108 \cdot 6 + 11
]
[
= 216 - 648 + 11
]
[
= 216 - 648 + 11 = -421
]

Таким образом, точка минимума функции ( y = x^3 - 108x + 11 ) — это ( (6, -421) ).