Начнем с решения уравнения ( 2 \cos x \sin 2x + \cos 2x = 1 ).

Сначала используем формулы тригонометрии:
[
\sin 2x = 2 \sin x \cos x,
]
[
\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2 \cos^2 x - 1.
]

Подставим эти выражения в уравнение:

[
2 \cos x \cdot (2 \sin x \cos x) + (2 \cos^2 x - 1) = 1.
]

Упростим:

[
4 \cos^2 x \sin x + 2 \cos^2 x - 1 = 1.
]

Соберем все члены на одной стороне:

[
4 \cos^2 x \sin x + 2 \cos^2 x - 2 = 0.
]

Разделим уравнение на 2:

[
2 \cos^2 x \sin x + \cos^2 x - 1 = 0.
]

Факторизуем уравнение:

[
\cos^2 x (2 \sin x + 1) - 1 = 0.
]

Теперь мы можем выразить:

[
\cos^2 x (2 \sin x + 1) = 1.
]

Далее мы будем рассматривать два случая:

(\cos^2 x = 1)

(2 \sin x + 1 = 0)

Первый случай: (\cos^2 x = 1)

Это выполняется, когда (x = n \pi), где (n) — целое число.

Второй случай: (2 \sin x + 1 = 0)

Решая уравнение, получаем:

[
\sin x = -\frac{1}{2}.
]

Это выполняется для:

[
x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad и \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.
]

Теперь у нас есть множество решений:

(x = n \pi) (для всех целых (n)).(x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi) (для всех целых (k)).

Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку ([-3\pi/2; -\pi/4]).

Для первого случая:

(x = n \pi)

Проверим, когда (n = -2):

[
x = -2\pi.
]

Это значение входит в отрезок.

Проверим, когда (n = -1):

[
x = -\pi.
]

Это значение также входит в отрезок.

Для второго случая:

Решим для ближайших целых (k):

Для (k = -2):
[
x = \frac{7\pi}{6} - 4\pi = \frac{7\pi - 24\pi}{6} = -\frac{17\pi}{6}.
]
Это значение не входит в отрезок.

Для (k = -1):
[
x = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = \frac{7\pi - 12\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6},
]
Это значение входит в отрезок.

Для (k = -2):
[
x = \frac{11\pi}{6} - 4\pi = \frac{11\pi - 24\pi}{6} = -\frac{13\pi}{6},
]
Это значение не входит в отрезок.

Для (k = -1):
[
x = \frac{11\pi}{6} - 2\pi = \frac{11\pi - 12\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}.
]
Это значение не входит в отрезок.

Таким образом, корни уравнения, принадлежащие отрезку ([-3\pi/2; -\pi/4]):

[
x = -2\pi, \quad x = -\pi, \quad x = -\frac{5\pi}{6}.
]