Чтобы извлечь корень из 76 без калькулятора, можно воспользоваться методом приближенного вычисления. Прежде всего, определим, между какими целыми числами находится корень из 76.

Мы знаем, что:

Таким образом, корень из 76 находится между 8 и 9.

Теперь можно попробовать приблизительно определить значение корня, используя метод интерполяции или среднего значения.

Попробуем взять среднее между 8 и 9:
[
\frac{8 + 9}{2} = 8.5
]
Теперь посчитаем (8.5^2):
[
8.5^2 = 72.25
]
Это меньше 76, значит, корень больше 8.5.

Попробуем взять число между 8.5 и 9, например, 8.7:
[
8.7^2 = 75.69
]
Это тоже меньше 76, значит, корень больше 8.7.

Попробуем 8.8:
[
8.8^2 = 77.44
]
Теперь это больше 76, значит, корень меньше 8.8.

Таким образом, мы можем уточнять значение в промежутке от 8.7 до 8.8. Например, попробуем 8.75:
[
8.75^2 = 76.5625
]
Это больше 76.

Теперь можем взять 8.72:
[
8.72^2 = 76.0384
]

И, наконец, 8.71:
[
8.71^2 = 75.9841
]

Теперь мы можем сказать, что корень из 76 приближенно равен 8.72.

В заключение, приблизительное значение (\sqrt{76} \approx 8.72). Этот метод позволяет получить четкое понимание того, где находится иррациональный корень без использования калькулятора.