Задача по Стереометрии Основанием пирамиды TABCD служит прямоугольник ABCD со сторонами AB=6 и AD=8 и точкой пересечения диагоналей O. Высота пирамиды TO равна 12. Найдите: а) расстояние между прямыми AC и TD; б) угол между прямыми AC и TD.

1 Мая в 19:40
51 +1
0
Ответы
1

Для решения этой задачи мы воспользуемся векторным методом и некоторыми свойствами пространственных фигур.

Определим координаты точек пирамиды:Пусть точка ( A ) имеет координаты ( (0, 0, 0) ).Точка ( B ) тогда будет ( (6, 0, 0) ).Точка ( D ) будет ( (0, 8, 0) ).Точка ( C ) может быть задана как ( (6, 8, 0) ).Точка ( T ), вершина пирамиды, расположена над точкой ( O ) (середина диагонали ( AC )).

Для вычисления точки ( O ):
[
O = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}, 0 \right) = \left( \frac{0 + 6}{2}, \frac{0 + 8}{2}, 0 \right) = (3, 4, 0)
]
Так как высота пирамиды ( TO = 12 ), координаты точки ( T ) будут:
[
T = (3, 4, 12)
]

Найдем векторы для прямых ( AC ) и ( TD ):Вектор ( \overrightarrow{AC} = C - A = (6, 8, 0) - (0, 0, 0) = (6, 8, 0) )Вектор ( \overrightarrow{TD} = D - T = (0, 8, 0) - (3, 4, 12) = (-3, 4, -12) )а) Найдем расстояние между прямыми ( AC ) и ( TD ):

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми ( AC ) и ( TD ) воспользуемся формулой:
[
d = \frac{|(\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{TD}) \cdot \overrightarrow{OT}|}{|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{TD}|}
]
где ( \overrightarrow{OT} = T - O = (3, 4, 12) - (3, 4, 0) = (0, 0, 12) ).

Сначала найдем векторное произведение ( \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{TD} ):
[
\overrightarrow{AC} = (6, 8, 0), \quad \overrightarrow{TD} = (-3, 4, -12)
]
[
\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{TD} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
6 & 8 & 0 \
-3 & 4 & -12
\end{vmatrix} = \hat{i}(8 \cdot -12 - 0 \cdot 4) - \hat{j}(6 \cdot -12 - 0 \cdot -3) + \hat{k}(6 \cdot 4 - 8 \cdot -3)
]
[
= \hat{i}(-96) - \hat{j}(-72) + \hat{k}(24 + 24)
]
[
= (-96, 72, 48)
]

Теперь найдем длину вектора ( \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{TD} ):
[
|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{TD}| = \sqrt{(-96)^2 + 72^2 + 48^2} = \sqrt{9216 + 5184 + 2304} = \sqrt{16944} = 6\sqrt{469}
]

Посчитаем скалярное произведение:
[
\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{TD} \cdot \overrightarrow{OT} = (-96, 72, 48) \cdot (0, 0, 12) = 48 \cdot 12 = 576
]

Теперь можем найти расстояние:
[
d = \frac{|576|}{6\sqrt{469}} = \frac{576}{6\sqrt{469}} = \frac{96}{\sqrt{469}}
]

б) Найдем угол между прямыми ( AC ) и ( TD ):

Угол ( \theta ) между двумя векторами определяется через их скалярное произведение:
[
\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{TD}}{|\overrightarrow{AC}| |\overrightarrow{TD}|}
]

Сначала находим скалярное произведение ( \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{TD} ):
[
\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{TD} = (6)(-3) + (8)(4) + (0)(-12) = -18 + 32 + 0 = 14
]

Теперь найдем длины векторов:
[
|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10
]
[
|\overrightarrow{TD}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + (-12)^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13
]

Теперь можем найти ( \cos \theta ):
[
\cos \theta = \frac{14}{10 \cdot 13} = \frac{14}{130} = \frac{7}{65}
]

Таким образом, завершаем:

а) Расстояние между прямыми ( AC ) и ( TD ) равно ( \frac{96}{\sqrt{469}} ).

б) Угол между прямыми ( AC ) и ( TD ) можно найти, вычислив ( \theta = \arccos\left(\frac{7}{65}\right) ).

1 Мая в 19:43
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Прямой эфир