Чтобы найти угол ( \angle ABC ) в треугольнике ( ABC ), используя данные об углах ( \angle AOB ) и ( \angle BOC ), нужно использовать свойства углов, связанных с описанной окружностью.

Углы, образованные центром окружности, равны удвоенным углам соответственно, образованным на окружности. То есть:

[
\angle AOB = 2 \cdot \angle ACB
]
[
\angle BOC = 2 \cdot \angle BAC
]

Давайте обозначим угол ( ACB ) как ( x ) и угол ( BAC ) как ( y ). Тогда у нас есть:

[
\angle AOB = 140^\circ \implies 2x = 140^\circ \implies x = 70^\circ
]

[
\angle BOC = 100^\circ \implies 2y = 100^\circ \implies y = 50^\circ
]

Теперь мы знаем два угла:

[
\angle ACB = 70^\circ
]
[
\angle BAC = 50^\circ
]

Для поиска третьего угла ( \angle ABC ) воспользуемся свойством суммы углов в треугольнике:

[
\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circ
]

Подставим известные значения:

[
\angle ABC + 70^\circ + 50^\circ = 180^\circ
]

[
\angle ABC + 120^\circ = 180^\circ
]

[
\angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ
]

Таким образом, угол ( \angle ABC ) равен ( 60^\circ ).