Для решения задачи найдем сначала высоту, проведенную из вершины треугольника к основанию, а затем радиусы окружности, вписанной и описанной около равнобедренного треугольника.

Определяем стороны треугольника:

Поскольку у нас есть равнобедренный треугольник, основание ( AB = 10 ) см, а высота ( h = 12 ) см. Высота делит основание пополам, то есть ( AM = MB = 5 ) см, где ( M ) — середина основания ( AB ).

Применяя теорему Пифагора в треугольнике ( AMC ) (где ( C ) — вершина треугольника):
[
AC^2 = AM^2 + CM^2
]
Подставим значения:
[
AC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169
]
Тогда:
[
AC = \sqrt{169} = 13 \text{ см}
]

Поскольку это равнобедренный треугольник, то ( AC = BC = 13 ) см.

Находим площадь треугольника:

Площадь ( S ) треугольника вычисляется по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \times основание \times высота = \frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 60 \text{ см}^2
]

Находим радиус вписанной окружности ( r ):

Формула для радиуса вписанной окружности:
[
r = \frac{S}{p}
]
где ( p ) — полупериметр треугольника:
[
p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{10 + 13 + 13}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ см}
]

Теперь найдем радиус:
[
r = \frac{60}{18} \approx 3.33 \text{ см}
]

Находим радиус описанной окружности ( R ):

Формула для радиуса описанной окружности:
[
R = \frac{abc}{4S}
]
где ( a = 10 ) см (основание), ( b = 13 ) см, ( c = 13 ) см.
Подставляем значения:
[
R = \frac{10 \cdot 13 \cdot 13}{4 \cdot 60} = \frac{1690}{240} \approx 7.04 \text{ см}
]

Таким образом, радиусы окружностей:

Радиус вписанной окружности ( r \approx 3.33 ) см.Радиус описанной окружности ( R \approx 7.04 ) см.