Для решения этой задачи будем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть ( n ) независимых испытаний (в данном случае — работа автоматов), и каждое испытание имеет два исхода: автомат либо работает, либо не работает.

Обозначим вероятность работы автомата за ( p = 0.45 ), а вероятность его неработы за ( q = 1 - p = 0.55 ).

Пусть ( X ) — случайная величина, представляющая количество работающих автоматов. ( X ) распределено по биномиальному закону:

[
X \sim B(n, p)
]

где ( n = 5 ).

Формула для вероятности событии, что ( k ) автоматов работают, записывается так:

[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
]

где ( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ) - биномиальный коэффициент.

Теперь можем найти требуемые вероятности.

а) Вероятность того, что работает ровно ( m ) автоматов:

[
P(X = m) = C(n, m) \cdot p^m \cdot q^{n-m}
]

Подставляем значения: ( n = 5 ), ( m = 2 ), ( p = 0.45 ), ( q = 0.55 ):

[
P(X = 2) = C(5, 2) \cdot (0.45)^2 \cdot (0.55)^{5-2}
]

[
C(5, 2) = \frac{5!}{2!3!} = 10
]

[
P(X = 2) = 10 \cdot (0.45)^2 \cdot (0.55)^3
]

[
= 10 \cdot 0.2025 \cdot 0.166375 \approx 0.336
]

б) Вероятность того, что не работают все автоматы:

[
P(X = 0) = C(n, 0) \cdot p^0 \cdot q^{n-0} = q^{n} = (0.55)^5 \approx 0.0503
]

в) Вероятность того, что работают все автоматы:

[
P(X = n) = C(n, n) \cdot p^n \cdot q^{n-n} = p^n = (0.45)^5 \approx 0.0185
]

г) Вероятность того, что работает более ( m ) автоматов:

[
P(X > m) = 1 - P(X \leq m) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2))
]

Сначала найдем ( P(X = 1) ):

[
P(X = 1) = C(5, 1) \cdot (0.45)^1 \cdot (0.55)^4 = 5 \cdot 0.45 \cdot (0.55)^4 \approx 0.1662
]

Теперь можем найти ( P(X \leq 2) ):

[
P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \approx 0.0503 + 0.1662 + 0.336 = 0.5525
]

Следовательно:

[
P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2) \approx 1 - 0.5525 = 0.4475
]

д) Вероятность того, что работает менее ( m ) автоматов:

[
P(X < m) = P(X = 0) + P(X = 1) \approx 0.0503 + 0.1662 = 0.2165
]

е) Вероятность того, что работает не менее ( m ) автоматов:

[
P(X \geq m) = 1 - P(X < m) \approx 1 - 0.2165 = 0.7835
]

Таким образом, все вероятности:

а) ( P(X = 2) \approx 0.336 )б) ( P(X = 0) \approx 0.0503 )в) ( P(X = 5) \approx 0.0185 )г) ( P(X > 2) \approx 0.4475 )д) ( P(X < 2) \approx 0.2165 )е) ( P(X \geq 2) \approx 0.7835 )