Чтобы найти высоту трапеции, заданной координатами её вершин, нужно сначала убедиться, что она является трапецией, а затем найти длину оснований и высоту.

Определите, какие стороны являются основаниями, а какие - боковыми. Для этого вычислим длины всех сторон с помощью формулы расстояния между двумя точками ((x_1, y_1)) и ((x_2, y_2)):

[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
]

Вершины трапеции:

(M(-1, -4))(T(-3, -3))(K(3, 5))(D(8, 0))

Теперь будем вычислять длины отрезков:

Сторона (MT):
[
MT = \sqrt{((-3) - (-1))^2 + ((-3) - (-4))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}
]

Сторона (TK):
[
TK = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (5 - (-3))^2} = \sqrt{(6)^2 + (8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10
]

Сторона (KD):
[
KD = \sqrt{(8 - 3)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{(5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
]

Сторона (DM):
[
DM = \sqrt{((-1) - 8)^2 + ((-4) - 0)^2} = \sqrt{(-9)^2 + (-4)^2} = \sqrt{81 + 16} = \sqrt{97}
]

Теперь определим, какие из сторон параллельны. Для этого можем найти уравнения прямых, проходящих через пары точек.

Найдём уравнения для (MT) и (KD), чтобы определить, являются ли они параллельными:

Уравнение прямой (MT):
Изменение координат:
[
k_{MT} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-3 - (-4)}{-3 - (-1)} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}
]
Уравнение: (y + 4 = -\frac{1}{2}(x + 1)) или (y = -\frac{1}{2}x - \frac{9}{2}).

Уравнение прямой (KD):
[
k_{KD} = \frac{0 - 5}{8 - 3} = \frac{-5}{5} = -1
]
Уравнение: (y - 5 = -1(x - 3)) или (y = -x + 8).

Так как угловые коэффициенты прямых (MT) и (KD) разные (-\frac{1}{2}) и (-1), то (MT) и (KD) не являются параллельными, а значит, это действительно трапеция.

Вычисление высоты трапеции:

Высота трапеции равна расстоянию между осями, на которых лежат её основания. Мы можем использовать точку на одной из параллельных сторон и найти расстояние до другой стороны. Выберем, например, точку (M(-1, -4)) и прямую (KD).

Уравнение прямой (KD):
[
y = -x + 8
]
или в общем виде:
[
x + y - 8 = 0
]

Расстояние (d) от точки (M) до прямой (KD) можно найти по формуле:
[
d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
]
где (A = 1), (B = 1), (C = -8), а ((x_1, y_1)) — координаты точки (M).

Подставляя, мы получаем:
[
d = \frac{|1 \cdot (-1) + 1 \cdot (-4) - 8|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-1 - 4 - 8|}{\sqrt{2}} = \frac{|-13|}{\sqrt{2}} = \frac{13}{\sqrt{2}} = \frac{13\sqrt{2}}{2}
]

Таким образом, высота трапеции равна (\frac{13\sqrt{2}}{2}).