У нас есть две уравнения:

(\sin \alpha + \sin \beta = -\sqrt{2})(\cos \alpha + \cos \beta = -1)

Сначала попробуем выразить (\cos(\alpha - \beta)) через известные функции. Используем следующую формулу:

[
\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta
]

Для этого нам нужно найти (\sin \alpha \sin \beta) и (\cos \alpha \cos \beta).

Шаг 1: Используем известные значения

Из второго уравнения (\cos \alpha + \cos \beta = -1) мы можем выразить (\cos \beta) через (\cos \alpha):

[
\cos \beta = -1 - \cos \alpha
]

Шаг 2: Найдем (\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta)

Теперь воспользуемся тем, что:

[
\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \alpha - \cos^2 \beta
]

Подставим (\cos \beta):

[
\cos \beta = -1 - \cos \alpha \Rightarrow \cos^2 \beta = (-1 - \cos \alpha)^2 = 1 + 2\cos \alpha + \cos^2 \alpha
]

Теперь подставим в уравнение для (\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta):

[
\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \alpha - (1 + 2\cos \alpha + \cos^2 \alpha) = -2\cos^2 \alpha - 2\cos \alpha
]

Шаг 3: Найдем (\sin \alpha \sin \beta)

Воспользуемся квадратом первого уравнения:

[
(\sin \alpha + \sin \beta)^2 = (-\sqrt{2})^2 = 2
]

Раскроем квадрат:

[
\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + 2\sin \alpha \sin \beta = 2
]

Из этого уравнения мы можем выразить (\sin \alpha \sin \beta):

[
2\sin \alpha \sin \beta = 2 - \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta
]
[
\sin \alpha \sin \beta = 1 - \frac{1}{2} \left( -2\cos^2 \alpha - 2\cos \alpha \right) = 1 + \cos^2 \alpha + \cos \alpha
]

Шаг 4: Подставляем в исходное выражение

Теперь мы имеем (\sin \alpha \sin \beta) и (\cos \alpha \cos \beta):

[
\cos \beta = -1 - \cos \alpha
]
[
\cos \alpha \cos \beta = \cos \alpha (-1 - \cos \alpha) = -\cos \alpha - \cos^2 \alpha
]

Шаг 5: Получаем финальный ответ

Теперь подставим все это в формулу для (\cos(\alpha - \beta)):

[
\cos(\alpha - \beta) = (-\cos \alpha - \cos^2 \alpha) + (1 + \cos^2 \alpha + \cos \alpha) = 1
]

Таким образом, мы получаем:

[
\cos(\alpha - \beta) = 1
]

То есть:

[
\cos(\alpha - \beta) = 1
]