Для построения графика функции ( y = -x^2 + 4 ) и определения значений ( x ), при которых функция принимает положительные значения, следуем следующим шагам:

Общий вид функции: Функция является параболой, открытой вниз (так как коэффициент при ( x^2 ) отрицателен). Вертикальная ось симметрии проходит через точку, где производная функции равна нулю.

Нахождение вершины параболы: Вершина параболы находится по формуле ( x = -\frac{b}{2a} ), где ( a = -1 ) и ( b = 0 ):
[
x = -\frac{0}{2 \cdot -1} = 0
]
Подставим это значение в функцию, чтобы найти координаты вершины:
[
y = -0^2 + 4 = 4
]
Таким образом, вершина параболы находится в точке ( (0, 4) ).

Нахождение корней: Для нахождения значений ( x ), при которых функция равна нулю, решим уравнение:
[
-x^2 + 4 = 0
]
Преобразуем:
[
x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2
]
Таким образом, корни функции: ( x = 2 ) и ( x = -2 ).

Определение положительных значений функции: Функция ( y = -x^2 + 4 ) будет положительной между корнями, то есть для:
[
-2 < x < 2
]
Этот отрезок — область, где функция принимает положительные значения.

График функции: Теперь можно построить график функции:

У нас есть точка вершины ( (0, 4) ).Корни у функции ( x = -2 ) и ( x = 2 ).

График функции будет выглядеть как парабола, которая достигает максимума в точке ( (0, 4) ) и пересекает ось абсцисс в точках ( -2 ) и ( 2 ).

Таким образом, функция ( y = -x^2 + 4 ) принимает положительные значения на интервале ( (-2, 2) ).