Решим данную систему уравнений способом алгебраического сложения.

Система уравнений:
[
\begin{cases}
4x + y = 1 \quad (1) \
4x - y = 2 \quad (2)
\end{cases}
]

Сложим оба уравнения. Это позволит избавиться от переменной (y):
[
(4x + y) + (4x - y) = 1 + 2
]
Упрощая, получаем:
[
8x = 3
]
Теперь решим уравнение для (x):
[
x = \frac{3}{8}
]

Теперь подставим найденное значение (x) в одно из уравнений, чтобы найти (y). Подставим в уравнение (1):
[
4\left(\frac{3}{8}\right) + y = 1
]
Упрощаем:
[
\frac{12}{8} + y = 1
]
[
\frac{3}{2} + y = 1
]
Выразим (y):
[
y = 1 - \frac{3}{2}
]
[
y = -\frac{1}{2}
]

Таким образом, решение системы уравнений:
[
x = \frac{3}{8}, \quad y = -\frac{1}{2}
]

Ответ: ((x, y) = \left(\frac{3}{8}, -\frac{1}{2}\right)).