Давайте рассмотрим задачу, исходя из соотношения между длиной дуг и градусной мерой углов.

Обозначим градусную меру угла ( FGH ) как ( x ) градусов. Для полного круга у нас 360 градусов.

По условию, длина дуги ( FG ) в 7 раз меньше длины дуги ( FGH ).

Длина дуги пропорциональна градусной мере угла. Таким образом, мы можем записать:

[
\text{длина дуги } FG = \frac{x}{360} \cdot C
]

где ( C ) — это длина окружности.

Длина дуги ( FGH ) равна:

[
\text{длина дуги } FGH = \frac{(360 - x)}{360} \cdot C
]

Согласно условию задачи, имеет место следующее соотношение:

[
\text{длина дуги } FG = \frac{1}{7} \cdot \text{длина дуги } FGH
]

Подставим наши выражения:

[
\frac{x}{360} \cdot C = \frac{1}{7} \cdot \left( \frac{(360 - x)}{360} \cdot C \right)
]

Упрощая, получаем:

[
\frac{x}{360} = \frac{1}{7} \cdot \frac{(360 - x)}{360}
]

Умножим обе стороны на 360:

[
x = \frac{1}{7} (360 - x)
]

Умножим обе стороны на 7, чтобы избавиться от дроби:

[
7x = 360 - x
]

Теперь добавим ( x ) к обеим сторонам:

[
7x + x = 360
]

Это дает:

[
8x = 360
]

Теперь решим для ( x ):

[
x = \frac{360}{8} = 45
]

Таким образом, градусная мера угла ( FGH ) составляет ( 45 ) градусов.