В прямоугольной трапеции ABCD основание BC и AD параллельны, а стороны AB и CD перпендикулярны к этим основаниям. Поскольку в трапецию вписана окружность, это означает, что сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

[
AB + CD = BC + AD
]

Пусть ( AB = a ), ( CD = b ), ( BC = h ), ( AD = d ). Из условия о вписанной окружности получаем, что:

[
a + b = h + d
]

Также нам дано, что ( CO = 9 ) и ( DO = 12 ). Поскольку O — это центр окружности, и CO и DO — это радиусы, мы можем выразить высоту ( h ) между основаниями через радиусы ( r_1 = CO = 9 ) и ( r_2 = DO = 12 ).

Площадь трапеции равна:

[
S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h
]

Однако сначала найдем высоту ( h ). В прямоугольной трапеции высота равна разности радий:

[
h = r_2 + r_1 = 12 + 9 = 21.
]

Теперь, так как сумма оснований равна сумме сторон:

[
a + b = h + d
]

поскольку ( h = 21 ) и ( d = h = 21 ) (так как в прямоугольной трапеции ( AD = BC = h )), получаем:

[
a + b = 21 + 21 = 42.
]

Теперь можем подставить полученные данные в формулу площади:

[
S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot 21.
]

Вычислим:

[
S = 21 \cdot 21 = 441.
]

Таким образом, площадь трапеции ABCD равна ( 441 ) квадратных единиц.