Чтобы найти значение корней ( \sqrt[4]{z} ) для ( z = -i ), сначала представим комплексное число в полярной форме.
Комплексное число ( -i ) может быть записано в полярной форме как:
[z = -i = 0 - i = 0 + (-1)i.]
Так как модуль ( r ) этого числа равен 1, а угол ( \theta ) (аргумент) равен ( \frac{3\pi}{2} ) (или -(\frac{\pi}{2})), то запишем:
[z = 1 \left( \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) \right).]
Теперь найдем четвертый корень от ( z ):
[\sqrt[4]{z} = \sqrt[4]{1} \left( \cos\left(\frac{3\pi/2 + 2k\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi/2 + 2k\pi}{4}\right) \right), \quad k = 0, 1, 2, 3.]
Поскольку ( \sqrt[4]{1} = 1 ), мы получаем:
[\sqrt[4]{z} = \cos\left(\frac{3\pi/8 + k\frac{\pi}{2}}{4}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi/8 + k\frac{\pi}{2}}{4}\right).]
Теперь подставляем значения ( k ):
Для ( k = 0 ):[\theta_0 = \frac{3\pi/8},][\sqrt[4]{-i} = \cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{8}\right).]
Для ( k = 1 ):[\theta_1 = \frac{3\pi/8} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi/8} + \frac{4\pi/8} = \frac{7\pi/8},][\sqrt[4]{-i} = \cos\left(\frac{7\pi}{8}\right) + i \sin\left(\frac{7\pi}{8}\right).]
Для ( k = 2 ):[\theta_2 = \frac{7\pi/8} + \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi/8} + \frac{4\pi/8} = \frac{11\pi/8},][\sqrt[4]{-i} = \cos\left(\frac{11\pi}{8}\right) + i \sin\left(\frac{11\pi}{8}\right).]
Для ( k = 3 ):[\theta_3 = \frac{11\pi/8} + \frac{\pi}{2} = \frac{11\pi/8} + \frac{4\pi/8} = \frac{15\pi/8},][\sqrt[4]{-i} = \cos\left(\frac{15\pi}{8}\right) + i \sin\left(\frac{15\pi}{8}\right).]
Таким образом, конечные выражения для всех четырех корней:
Это и есть все четыре значения корней ( \sqrt[4]{-i} ).
Чтобы найти значение корней ( \sqrt[4]{z} ) для ( z = -i ), сначала представим комплексное число в полярной форме.
Комплексное число ( -i ) может быть записано в полярной форме как:
[
z = -i = 0 - i = 0 + (-1)i.
]
Так как модуль ( r ) этого числа равен 1, а угол ( \theta ) (аргумент) равен ( \frac{3\pi}{2} ) (или -(\frac{\pi}{2})), то запишем:
[
z = 1 \left( \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) \right).
]
Теперь найдем четвертый корень от ( z ):
[
\sqrt[4]{z} = \sqrt[4]{1} \left( \cos\left(\frac{3\pi/2 + 2k\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi/2 + 2k\pi}{4}\right) \right), \quad k = 0, 1, 2, 3.
]
Поскольку ( \sqrt[4]{1} = 1 ), мы получаем:
[
\sqrt[4]{z} = \cos\left(\frac{3\pi/8 + k\frac{\pi}{2}}{4}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi/8 + k\frac{\pi}{2}}{4}\right).
]
Теперь подставляем значения ( k ):
Для ( k = 0 ):
[
\theta_0 = \frac{3\pi/8},
]
[
\sqrt[4]{-i} = \cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{8}\right).
]
Для ( k = 1 ):
[
\theta_1 = \frac{3\pi/8} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi/8} + \frac{4\pi/8} = \frac{7\pi/8},
]
[
\sqrt[4]{-i} = \cos\left(\frac{7\pi}{8}\right) + i \sin\left(\frac{7\pi}{8}\right).
]
Для ( k = 2 ):
[
\theta_2 = \frac{7\pi/8} + \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi/8} + \frac{4\pi/8} = \frac{11\pi/8},
]
[
\sqrt[4]{-i} = \cos\left(\frac{11\pi}{8}\right) + i \sin\left(\frac{11\pi}{8}\right).
]
Для ( k = 3 ):
[
\theta_3 = \frac{11\pi/8} + \frac{\pi}{2} = \frac{11\pi/8} + \frac{4\pi/8} = \frac{15\pi/8},
]
[
\sqrt[4]{-i} = \cos\left(\frac{15\pi}{8}\right) + i \sin\left(\frac{15\pi}{8}\right).
]
Таким образом, конечные выражения для всех четырех корней:
( \sqrt[4]{-i} = \cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{8}\right) )( \sqrt[4]{-i} = \cos\left(\frac{7\pi}{8}\right) + i \sin\left(\frac{7\pi}{8}\right) )( \sqrt[4]{-i} = \cos\left(\frac{11\pi}{8}\right) + i \sin\left(\frac{11\pi}{8}\right) )( \sqrt[4]{-i} = \cos\left(\frac{15\pi}{8}\right) + i \sin\left(\frac{15\pi}{8}\right) )Это и есть все четыре значения корней ( \sqrt[4]{-i} ).