Кратко: утверждение верно. Для $n=1$ имеем равенство, для $n\ge 2$ — строгое неравенство.
Доказательство интегральным сравнением (схема). Пусть $H_n={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k}$. Для убывающей функции $f(x)=1/x$ на отрезках $[k-1,k]$ выполняется $\frac{1}{k}<{\int }_{k-1}^k\frac{dx}{x}$ при $k\ge 2$. Суммируя для $k=2,\dots ,n$,
$$H_n-1=\sum _{k=2}^n\frac{1}{k}<\sum _{k=2}^n{\int }_{k-1}^k\frac{dx}{x}={\int }_1^n\frac{dx}{x}=\ln n,$$ откуда
$$H_n<1+\ln n(n\ge 2),$$ и при $n=1$ тривиально $H_1=1=\ln 1+1$. Аналогично, для нижней оценки $\frac{1}{k}\ge {\int }_k^{k+1}\frac{dx}{x}$ даёт
$$H_n\ge {\int }_1^{n+1}\frac{dx}{x}=\ln (n+1).$$
Точность оценки. Интегральное сравнение даёт лишь грубую границу: разность $(1+\ln n)-H_n$ стремится к константе $1-\gamma$, где
$$H_n=\ln n+\gamma +{\epsilon }_n,\gamma \approx 0.5772156649\dots$$ и ${\epsilon }_n\to 0$. Поэтому $1+\ln n$ завышает $H_n$ асимптотически на примерно $1-\gamma \approx 0.42278$.
Более точные (классические и «лучшие») неравенства.
1) Простые двухсторонние:
$$\ln (n+1)\le H_n\le 1+\ln n.$$
2) Остаток через постоянную Эйлера—Маскерони (очень точная двухсторонняя граница):
$$\frac{1}{2(n+1)}<H_n-\ln n-\gamma <\frac{1}{2n}(n\ge 1).$$ Это даёт порядок погрешности $O(1/n)$ и существено точнее интегральной оценки.
3) Асимптотическое разложение (Эйлер—Маклорен):
$$H_n=\ln n+\gamma +\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-\cdots ,$$ с чередующимся рядом, чьи члены выражаются через числа Бернулли $B_{2k}$. При усечении ряда остающийся член имеет тот же знак и по модулю не превышает следующего включённого члена, что позволяет получать явные строгие оценки остатка.
4) Точная связь с дигамма-функцией:
$$H_n=\psi (n+1)+\gamma ,$$ что даёт доступ к богатой теории специальных функций и к строгим неравенствам для $\psi$.
Вывод: доказательство через интегральные сравнения корректно и просто, но даёт слабую (неточную в смысле асимптотики) верхнюю границу. Для точных оценок используют неравенство с $1/(2n)$ и разложение Эйлера—Маклорена (Bernoulli terms) или связь с дигамма-функцией.