Переменные и условие. Пусть стороны прямоугольника $x,y$, радиус вписанной окружности $r$. Для того чтобы окружность касалась всех четырёх сторон, необходимо $x=2r,y=2r$ (т. е. прямоугольник — квадрат).
Ограничение по длине проволоки:
$$2(x+y)+2\pi r=L\Rightarrow 2(2r+2r)+2\pi r=L\Rightarrow (8+2\pi )r=L.$$ Отсюда
$$r=\frac{L}{8+2\pi }=\frac{L}{2(4+\pi )}.$$
Площади:
$$A_{\text{прям}}=xy=(2r{)}^2=4r^2,A_{\text{окр}}=\pi r^2,$$ суммарная площадь
$$A=(4+\pi )r^2.$$ Подставляя $r$,
$$A=(4+\pi ){\left(\frac{L}{8+2\pi }\right)}^2=\frac{L^2}{4(4+\pi )}.$$
Распределение проволоки:
$$P_{\text{прям}}=2(x+y)=8r=\frac{4L}{4+\pi },C_{\text{окр}}=2\pi r=\frac{\pi L}{4+\pi },$$ т. е. деление по длине в отношении $4:\pi$.
Метод. Выбраны геометрические переменные, применено условие касания (вынуждено $x=y$), затем подставлением сокращённая задача сведена к единственной переменной $r$. Поскольку ограничение линейно задаёт $r$, решение единственно; при необходимости можно было бы проверить экстремум дифференцированием функции $A(r)$.