Лучше всего — разложение в ряд Тейлора (ряд Маклорена) с контролем остаточного члена в форме Лагранжа: это даёт короткое и строгие оценки остатка. Быстрое вычисление:
1) Маклорен для $\sin x$ до пятого порядка:
$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+R_5(x),$$ где по формуле Лагранжа
$$R_5(x)=\frac{{\sin }^{(6)}(\xi )}{6!}{x}^6=\frac{-\sin \xi }{720}{x}^6$$ для некоторого $\xi$ между $0$ и $x$.
2) Подставляя в числитель:
$$\sin x-x+\frac{x^3}{6}=\frac{x^5}{120}+R_5(x).$$
3) Оценка остатка: $|{\sin }^{(6)}(\xi )|=|\sin \xi |\le 1$, поэтому
∣R5(x)∣≤∣x∣6720,и∣R5(x)x5∣≤∣x∣720→0 (x→0). |R_5(x)|\le \frac{|x|^6}{720},
\qquad\text{и}\qquad
\left|\frac{R_5(x)}{x^5}\right|\le \frac{|x|}{720}\to 0\ (x\to 0).
∣R5 (x)∣≤720∣x∣6 ,и x5R5 (x) ≤720∣x∣ →0 (x→0).
Следовательно
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-x+x^3/6}{x^5}=\frac{1}{120}.$$
Коротко о тонкостях:
- Используйте форму Лагранжа для остатка или оценку через верхнюю границу $|f^{(n+1)}|\le M$ на интервале, чтобы показать, что остаток делённый на $x^5$ стремится к нулю.
- Правило Лопиталя тоже применимо (пять дифференцирований), но более громоздко; нужно убедиться, что после нужного числа дифференцирований получили конечный ненулевой предел.