Коротко: корни $x=\pm 2$ неверны. Ошибки автора: неправильное раскрытие модулей на интервалах и/или арифметическая ошибка при решении линейных уравнений (например, $2x=3$ не даёт $x=2$), возможно не проверялось вхождение корней в соответствующие интервалы.
Корректное решение (разбиение по точкам, где выражения внутри модулей равны нулю: $-1$ и $1$).
1) Для $x\ge 1$: $|x-1|=x-1,|x+1|=x+1$. Тогда
$$|x-1|+|x+1|=(x-1)+(x+1)=2x.$$ Решаем $2x=3$, получаем $x=\frac{3}{2}$. Проверка: $\frac{3}{2}\ge 1$ — подходит.
2) Для $-1\le x\le 1$: $|x-1|=1-x,|x+1|=x+1$. Тогда
$$|x-1|+|x+1|=(1-x)+(x+1)=2.$$ Уравнение $2=3$ не имеет решений на этом отрезке.
3) Для $x\le -1$: $|x-1|=1-x,|x+1|=-x-1$. Тогда
$$|x-1|+|x+1|=(1-x)+(-x-1)=-2x.$$ Решаем $-2x=3$, получаем $x=-\frac{3}{2}$. Проверка: $-\frac{3}{2}\le -1$ — подходит.
Итак, все решения:
$$x=\pm \frac{3}{2}.$$
Проверка подстановкой: для $x=\frac{3}{2}$ — $|\frac{3}{2}-1|+|\frac{3}{2}+1|=\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=3$; для $x=-\frac{3}{2}$ — $|-\frac{3}{2}-1|+|-\frac{3}{2}+1|=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}=3$.