Обозначим события: $B_1$ — выбран первый ящик (WW), $B_2$ — второй (BB), $B_3$ — третий (WB), $W$ — извлечённый шар белый. Предполагаем сначала стандартную модель: ящик выбирается равновероятно, затем из него случайно вытаскивается один шар.
Вероятности условные:
$$P(W\mid B_1)=1,P(W\mid B_2)=0,P(W\mid B_3)=\frac{1}{2},$$ а априорно $P(B_i)=\frac{1}{3}$. Тогда по формуле полной вероятности
$$P(W)=\sum _{i=1}^{3}P(B_i)P(W\mid B_i)=\frac{1}{3}\cdot 1+\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$$ По формуле Байеса
$$P(B_1\mid W)=\frac{P(B_1)P(W\mid B_1)}{P(W)}=\frac{\frac{1}{3}\cdot 1}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}.$$ В интересующем нас вопросе «второй шар белый» выполняется только в случае $B_1$. Следовательно искомая вероятность равна
$$P(\text{второй шар белый}\mid W)=P(B_1\mid W)=\frac{2}{3}.$$
Зависимость от модели выбора:
- Описанная модель (выбор ящика равновероятно, затем случайный шар) эквивалентна выбору одного случайного шара из всех шести — результат тот же, $\frac{2}{3}$.
- Если же информация дана иначе, например: «вы выбрали ящик и узнали, что в нём есть хотя бы один белый шар» (то есть событие «в ящике есть ≥1 белый»), то
$$P(B_1\mid \text{есть ≥1 белый})=\frac{P(B_1)}{P(B_1)+P(B_3)}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{1}{2},$$ и тогда вероятность, что оба шара белые, равна $\frac{1}{2}$. Причина различия: при факте «извлечён белый» ящик WW даёт белый исход двумя способами (двумя белыми шариками), а ящик WB — одним, поэтому WW получает больший вес в апостериорном распределении.