Ответ: для всех $p>0$ интеграл
$${\int }_1^{\infty }\frac{\sin x}{x^p}dx$$ сходится; при $p>1$ — абсолютно, при $0<p\le 1$ — условно.
Пояснения и методы.
1) Абсолютная сходимость. По сравнению с $1/x^p$:
$$0\le {\int }_1^{\infty }\frac{|\sin x|}{x^p}dx\le {\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^p}dx,$$ и правая часть сходится тогда и только тогда, когда $p>1$. Следовательно абсолютная сходимость при $p>1$; при $p\le 1$ абсолютная сходимость невозможна.
2) Условная сходимость для $0<p\le 1$. Два кратких аргумента.
a) По признаку Дирихле: функция $S(X)={\int }_1^X\sin xdx=-\cos X+\cos 1$ ограничена, а $g(x)=1/x^p$ монотонно убывает и стремится к нулю при $x\to \infty$ для любого $p>0$. По признаку Дирихле интеграл ${\int }_1^{\infty }\sin x\cdot g(x)dx$ сходится. Значит для всех $p>0$ несобственный интеграл сходится (возможно условно).
b) Интегрированием по частям (тот же аргумент): взять $u=1/x^p,dv=\sin xdx$. Тогда
$${\int }_1^N\frac{\sin x}{x^p}dx=[-\frac{\cos x}{x^p}{]}_1^N-p{\int }_1^N\frac{\cos x}{x^{p+1}}dx.$$ Граничный член стремится к нулю при $N\to \infty$ для любого $p>0$; второе интегральное слагаемое сходится абсолютно, поскольку
$${\int }_1^{\infty }\frac{|\cos x|}{x^{p+1}}dx\le {\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^{p+1}}dx<\infty$$ при $p>0$. Отсюда существование предела исходного интеграла.
3) Несхождение абсолютного интеграла при $0<p\le 1$. Разбиваем на периоды: для целых $n$ имеем
$${\int }_{n\pi }^{(n+1)\pi }\frac{|\sin x|}{x^p}dx\ge \frac{1}{((n+1)\pi {)}^p}{\int }_{n\pi }^{(n+1)\pi }|\sin x|dx=\frac{2}{((n+1)\pi {)}^p}.$$ Сумма таких оценок даёт сравнение с рядом $\sum 1/n^p$, который расходится при $p\le 1$. Значит ${\int }_1^{\infty }|\sin x|/x^{p}dx=\infty$ при $p\le 1$.
Итог: при $p>1$ — абсолютная сходимость; при $0<p\le 1$ — условная сходимость; при $p\le 0$ (не в вопросе) интеграл вообще не определён как сходящийся бесконечный предел.